Sejam
, com
, e
uma função tal que
Mostre que
é contínua para todo
.
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz a condição de Lipschitz
Queremos mostrar que, para todo ponto
,
é contínua em
. Para isso, usaremos a definição de continuidade via
–
.
Passo 2
Recordando a definição, dizemos que
é contínua em
se
Nosso objetivo é, dado um
, encontrar um
adequado usando a hipótese de Lipschitz.
Passo 3
Pela condição de Lipschitz, tomando
fixo, temos para todo
Isso já relaciona diretamente a diferença de valores de
com a distância
.
Passo 4
Dado um
, escolha
Então, sempre que
, segue
Isso mostra exatamente a condição de continuidade em
.
Resposta
A função
é contínua em todo
.