Sejam K>0, a, b \in \mathbb{R}, com a<b, e f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que
|f(x)-f(y)| \leq K|x-y|, \quad \forall x, y \in[a, b] .
Mostre que f é contínua para todo c \in[a, b].

Passo 1

O enunciado define uma função f:[a,b]\to\mathbb{R} que satisfaz a condição de Lipschitz
|f(x)-f(y)|\le K\,|x-y|,\quad K>0,\;\forall x,y\in[a,b].
Queremos mostrar que, para todo ponto c\in[a,b], f é contínua em c. Para isso, usaremos a definição de continuidade via \varepsilon \delta.

Passo 2

Recordando a definição, dizemos que f é contínua em c se
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\text{tal que}\;|x-c|<\delta\implies|f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon.
Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0, encontrar um \delta>0 adequado usando a hipótese de Lipschitz.

Passo 3

Pela condição de Lipschitz, tomando y=c fixo, temos para todo x\in[a,b]
|f(x)-f\text{(c)}|\le K\,|x-c|.
Isso já relaciona diretamente a diferença de valores de f com a distância |x-c|.

Passo 4

Dado um \varepsilon>0, escolha
\delta = \frac{\varepsilon}{K}.
Então, sempre que |x-c|<\delta, segue
|f(x)-f\text{(c)}|\le K\,|x-c|<K\,\delta = K\cdot\frac{\varepsilon}{K} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição de continuidade em c.

Resposta

A função f é contínua em todo c\in[a,b].

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