Sejam I=[a, b] e f: I \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(x)>0 para todo x \in I. Mostre que existe um número c>0 tal que f(x) \geq c para todo x \in I.

Dica: Use o Teorema Bolsano-Weiertrass

Passo 1

O enunciado diz que temos um intervalo fechado e limitado I=[a,b] e uma função contínua f\colon I\to\mathbb{R} com f(x)>0 para todo x\in I. Queremos mostrar que existe uma constante c>0 tal que
f(x)\ge c\quad\text{para todo }x\in I.
O conteúdo usado será o fato de que, em um conjunto compacto, toda sequência tem subsequência convergente (Teorema de Bolzano–Weierstrass) e a continuidade preserva limites.

Passo 2

Definimos
c \;=\;\inf\bigl\{\,f(x)\mid x\in I\bigr\}.
Por definição de ínfimo, temos c\le f(x) para todo x\in I, de modo que basta mostrar que c>0.

Passo 3

Como c é o ínfimo de f(I), existe uma sequência (x_n)\subset I tal que
f(x_n)\;\longrightarrow\;c \quad\text{quando }n\to\infty.
Além disso, I é compacto, logo (x_n) é limitada e, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, tem uma subsequência (x_{n_k}) convergente para algum ponto x^*\in I.

Passo 4

Usando a continuidade de f em x^*, temos
\lim_{k\to\infty}f\bigl(x_{n_k}\bigr) \;=\; f\!\bigl(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}\bigr) \;=\; f(x^*).
Por outro lado, \lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=c. Logo
f(x^*) \;=\; c.

Passo 5

Mas sabemos do enunciado que f(x^*)>0. Portanto
c = f(x^*) > 0.
E como c era o ínfimo de f(I), concluímos que
f(x)\ge c>0 \quad\text{para todo }x\in I.

Resposta

Tomando c=\inf\{f(x)\mid x\in I\}, obtemos c>0 e f(x)\ge c para todo x\in I.

Exercícios relacionados