Sejam
e
uma função contínua tal que
para todo
. Mostre que existe um número
tal que
para todo
.
Dica: Use o Teorema Bolsano-Weiertrass
Passo 1
O enunciado diz que temos um intervalo fechado e limitado
e uma função contínua
com
para todo
. Queremos mostrar que existe uma constante
tal que
O conteúdo usado será o fato de que, em um conjunto compacto, toda sequência tem subsequência convergente (Teorema de Bolzano–Weierstrass) e a continuidade preserva limites.
Passo 2
Definimos
Por definição de ínfimo, temos
para todo
, de modo que basta mostrar que
.
Passo 3
Como
é o ínfimo de
, existe uma sequência
tal que
Além disso,
é compacto, logo
é limitada e, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, tem uma subsequência
convergente para algum ponto
.
Passo 4
Usando a continuidade de
em
, temos
Por outro lado,
. Logo
Passo 5
Mas sabemos do enunciado que
. Portanto
E como
era o ínfimo de
, concluímos que
Resposta
Tomando
, obtemos
e
para todo
.