Seja
uma transformação linear tal que
Sobre esta transformação linear, é correto afirmar que:
a) é injetora, apenas.
b) é bijetora.
c) não é injetora e não é sobrejetora.
d) é sobrejetora, apenas.
e) é impossível identificar se é bijetora.
a) é injetora, apenas.
b) é bijetora.
c) não é injetora e não é sobrejetora.
d) é sobrejetora, apenas.
e) é impossível identificar se é bijetora.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
com as informações (peguei estes vetores do enunciado):
-
. -
.
A pergunta é: qual das alternativas (a)–(e) é correta sobre
(injetora, sobrejetora, bijetora, etc.)? Vou usar apenas essas informações dadas.
Passo 2
Primeiro, vejo os dois vetores do domínio usados no enunciado:
Vou verificar se eles são linearmente independentes (isso é importante porque, se forem independentes, formam uma base de
). Considere uma combinação linear
Escrevendo por componentes:
Isto gera o sistema
Da primeira equação vem
; substituindo na segunda vem
. Logo
é a única solução, portanto
e
são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em
, eles formam uma base de
.
Passo 3
Uma consequência prática: uma transformação linear é totalmente determinada pelos valores que assume em uma base do domínio. Como
é base de
, os vetores dados
e
determinam completamente
.
Agora, para estudar injetividade e sobrejetividade é útil olhar para a imagem (span dos
) e para o núcleo.
Passo 4
Vou verificar se os dois vetores da imagem
são linearmente independentes em
. Considere
Por componentes:
Isto dá o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira obtém-se
então
. Portanto
é a única solução, logo
e
são linearmente independentes em
.
Passo 5
Como
e
são independentes, o subespaço imagem de
tem dimensão
(é o espaço gerado por esses dois vetores). Agora aplico o teorema dimensão (rank-nullity): para uma transformação linear
vale
Aqui
e
, então
Dimensão zero do núcleo significa que
, isto é, somente o vetor zero é mapeado em zero. Esse é exatamente o critério para injetividade: kernel trivial implica que
é injetora.
(Intuição curta: duas colunas independentes significam que nenhuma combinação não-trivial do domínio vai para zero, então imagens de dois vetores diferentes no domínio não colapsam entre si.)
Passo 6
Para ser sobrejetora (isto é, imagem igual a
) seria necessário que
. Mas já vimos que
. Além disso,
não pode exceder a dimensão do domínio, que é
. Como
, a imagem de
é um subespaço próprio de
(uma superfície de dimensão
no espaço de dimensão
), então
não é sobrejetora.
Passo 7
Conclusão combinada:
é injetora (kernel trivial) e não é sobrejetora (imagem tem dimensão
). Portanto a alternativa correta é a) “é injetora, apenas.”
Resposta
(a)