Seja
F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
uma transformação linear tal que
F(1,1)=(1,1,3) \quad \text { e } \quad F(0,-1)=(2,0,4) .
Sobre esta transformação linear, é correto afirmar que:
a) é injetora, apenas.
b) é bijetora.
c) não é injetora e não é sobrejetora.
d) é sobrejetora, apenas.
e) é impossível identificar se é bijetora.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
F: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
com as informações (peguei estes vetores do enunciado):
  • F(1,1)=(1,1,3).
  • F(0,-1)=(2,0,4).
A pergunta é: qual das alternativas (a)–(e) é correta sobre F (injetora, sobrejetora, bijetora, etc.)? Vou usar apenas essas informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vejo os dois vetores do domínio usados no enunciado:
v_1=(1,1),\qquad v_2=(0,-1).
Vou verificar se eles são linearmente independentes (isso é importante porque, se forem independentes, formam uma base de \mathbb{R}^2). Considere uma combinação linear
\alpha v_1+\beta v_2=(0,0).
Escrevendo por componentes:
\alpha(1,1)+\beta(0,-1)=(\alpha,\\ \alpha-\beta)=(0,0).
Isto gera o sistema
\alpha=0,\qquad \alpha-\beta=0.
Da primeira equação vem \alpha=0; substituindo na segunda vem \beta=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em \mathbb{R}^2, eles formam uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Uma consequência prática: uma transformação linear é totalmente determinada pelos valores que assume em uma base do domínio. Como \{v_1,v_2\} é base de \mathbb{R}^2, os vetores dados \,F(v_1)=(1,1,3) e F(v_2)=(2,0,4)\, determinam completamente F.
Agora, para estudar injetividade e sobrejetividade é útil olhar para a imagem (span dos F(v_i)) e para o núcleo.

Passo 4

Vou verificar se os dois vetores da imagem
w_1=F(v_1)=(1,1,3),\qquad w_2=F(v_2)=(2,0,4)
são linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Considere
\gamma w_1+\delta w_2=(0,0,0).
Por componentes:
\gamma(1,1,3)+\delta(2,0,4)=(\gamma+2\delta,\\ \gamma+0\delta,\\\ 3\gamma+4\delta)=(0,0,0).
Isto dá o sistema
\gamma+2\delta=0,\qquad \gamma=0,\qquad 3\gamma+4\delta=0.
Da segunda equação \gamma=0. Substituindo na primeira obtém-se 2\delta=0 então \delta=0. Portanto \gamma=\delta=0 é a única solução, logo w_1 e w_2 são linearmente independentes em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Como w_1 e w_2 são independentes, o subespaço imagem de F tem dimensão \rank(F)=2 (é o espaço gerado por esses dois vetores). Agora aplico o teorema dimensão (rank-nullity): para uma transformação linear F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 vale
\dim(\mathbb{R}^2)=\rank(F)+\dim(\ker F).
Aqui \dim(\mathbb{R}^2)=2 e \rank(F)=2, então
2=2+\dim(\ker F)\quad\Rightarrow\quad \dim(\ker F)=0.
Dimensão zero do núcleo significa que \ker F=\{(0,0)\}, isto é, somente o vetor zero é mapeado em zero. Esse é exatamente o critério para injetividade: kernel trivial implica que F é injetora.
(Intuição curta: duas colunas independentes significam que nenhuma combinação não-trivial do domínio vai para zero, então imagens de dois vetores diferentes no domínio não colapsam entre si.)

Passo 6

Para ser sobrejetora (isto é, imagem igual a \mathbb{R}^3) seria necessário que \rank(F)=3. Mas já vimos que \rank(F)=2. Além disso, \rank(F) não pode exceder a dimensão do domínio, que é 2. Como 2<3, a imagem de F é um subespaço próprio de \mathbb{R}^3 (uma superfície de dimensão 2 no espaço de dimensão 3), então F não é sobrejetora.

Passo 7

Conclusão combinada: F é injetora (kernel trivial) e não é sobrejetora (imagem tem dimensão 2<3). Portanto a alternativa correta é a) “é injetora, apenas.”

Resposta

(a)

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