Sobre o autovetor v=(a, b, c), associado ao maior autovalor do operador linear
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
dado por
F(x, y, z)=(6 x-y+z, y-z,-3 y-3 z)
é correto afirmar que:
a) b=a+c
b) a=c
c) a=b+c
d) b=c
e) a=b
Passo 1
O enunciado dá um operador linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e diz que v=(a,b,c) é um autovetor associado ao maior autovalor de F. As fórmulas fornecidas são:
F(x,y,z)=(6x-y+z,\; y-z,\; -3y-3z).
O que se pede é escolher, entre as alternativas (a)–(e), qual relação entre a,b,c é correta para esse autovetor. As alternativas são:
a) b=a+c
b) a=c
c) a=b+c
d) b=c
e) a=b
Informações relevantes que temos do enunciado:
O vetor v=(a,b,c) satisfaz F(v)=\lambda v para algum autovalor \lambda (o maior autovalor).
A ação de F sobre vetores é dada pelas componentes escritas acima.
Passo 2
Primeiro vamos escrever F como matriz na base canônica. Para isso calcule F aplicado aos vetores base:
Numericamente -1+\sqrt{7}\approx1{,}646 e -1-\sqrt{7}\approx-3{,}646. Logo o maior autovalor é \lambda=6.
Passo 5
Agora achamos um autovetor associado a \lambda=6\). Resolvemos \((A-6I)v=0\). A matriz \(A-6I\) é
\[A-6I=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & -5 & -1 \\[4pt] 0 & -3 & -9\end{pmatrix}.
Isso leva ao sistema linear (cada linha corresponde a uma equação)
\begin{cases} -b + c = 0,\\[4pt] -5b - c = 0,\\[4pt] -3b -9c = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos c=b\]. Substituindo na segunda:
\[-5b - c = -5b - b = -6b = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.\]
Com \(b=0 e c=b obtemos c=0. As três equações tornam-se satisfatoriamente verdadeiras com b=c=0; não há restrição sobre a (as colunas da primeira variável na matriz são zeros), então a é livre e deve ser não nulo para ser autovetor. Portanto os autovetores associados a \lambda=6 têm a forma
v=(a,0,0),\qquad a\neq 0.]
Passo 6
Da forma do autovetor concluímos as relações entre a,b,c que valem para esse autovetor: b=0 e c=0, isto é, b=c. As demais alternativas que envolvem igualdades com a não se verificam (por exemplo a=c falharia porque aqui c=0 mas a\neq0).