Seja f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f((x, y),(a, b))=3 x a-y b. Ache a forma quadrática Q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} associada a f.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
f\bigl((x,y),(a,b)\bigr)=3\,x\,a - y\,b.
A pergunta é: “Ache a forma quadrática Q:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} associada a f.”
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão explícita de f em termos das coordenadas (x,y) e (a,b).
  • O domínio de f é \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 e a imagem é \mathbb{R}.
  • Foi pedido apenas a forma quadrática associada, isto é, uma função Q de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}.

Passo 2

Definição e ideia usada (aula rápida): dada uma forma bilinear f (isto é, linear em cada argumento separadamente), a forma quadrática associada é a aplicação que leva cada vetor v\in\mathbb{R}^2 ao escalar f(v,v). Em símbolos,
Q(v)=f(v,v).
Aqui cada vetor v será escrito como v=(x,y). Essa definição é natural porque uma forma quadrática toma um único vetor e devolve um número, usando a mesma expressão de f mas com os dois argumentos iguais.

Passo 3

Aplicando a definição diretamente ao nosso f: pegue v=(x,y) e faça Q((x,y))=f\bigl((x,y),(x,y)\bigr). Substituindo a fórmula de f,
Q\bigl((x,y)\bigr)=3\cdot x\cdot x - y\cdot y.
Agora simplificamos os produtos x\cdot x = x^{2} e y\cdot y = y^{2}, obtendo
Q\bigl((x,y)\bigr)=3x^{2}-y^{2}.

Passo 4

Interpretação matricial (útil na prova): toda forma bilinear f em \mathbb{R}^{2} pode ser escrita como
f(u,v)=u^{T}A v,
onde A é a matriz 2\times2 associada. No nosso caso, se u=(x,y) e v=(a,b), procura-se A tal que
[x\; y]\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\end{pmatrix}=3xa-yb.
Isso corresponde à matriz diagonal
A=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
porque
[x\; y]A\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\end{pmatrix}=3xa-1\cdot yb=3xa-yb.
Com essa matriz, a forma quadrática fica
Q\bigl((x,y)\bigr)=[x\; y]A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=3x^{2}-y^{2},
confirmando o resultado do passo anterior.]

Passo 5

Verificação e observações finais (rapidinha): note que f é simétrica porque 3xa-yb=3ax-by, então f(u,v)=f(v,u). Em particular, a relação entre f e Q é invertível pela fórmula de polarização:
f(u,v)=\tfrac{1}{2}\bigl(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\bigr),
o que também pode ser usado em provas para passar de Q a f. Aqui, aplicando essa fórmula com Q(x,y)=3x^{2}-y^{2} recupera-se f(u,v)=3x a - y b, como checado.

Resposta

Q\bigl((x,y)\bigr)=3x^{2}-y^{2}

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