Seja
definida por
. Ache a forma quadrática
associada a
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por
A pergunta é: “Ache a forma quadrática
associada a
.”
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A expressão explícita de
em termos das coordenadas e . - O domínio de
é e a imagem é . - Foi pedido apenas a forma quadrática associada, isto é, uma função
de em .
Passo 2
Definição e ideia usada (aula rápida): dada uma forma bilinear
(isto é, linear em cada argumento separadamente), a forma quadrática associada é a aplicação que leva cada vetor
ao escalar
. Em símbolos,
Aqui cada vetor
será escrito como
. Essa definição é natural porque uma forma quadrática toma um único vetor e devolve um número, usando a mesma expressão de
mas com os dois argumentos iguais.
Passo 3
Aplicando a definição diretamente ao nosso
: pegue
e faça
. Substituindo a fórmula de
,
Agora simplificamos os produtos
e
, obtendo
Passo 4
Interpretação matricial (útil na prova): toda forma bilinear
em
pode ser escrita como
onde
é a matriz
associada. No nosso caso, se
e
, procura-se
tal que
Isso corresponde à matriz diagonal
porque
Com essa matriz, a forma quadrática fica
confirmando o resultado do passo anterior.]
Passo 5
Verificação e observações finais (rapidinha): note que
é simétrica porque
, então
. Em particular, a relação entre
e
é invertível pela fórmula de polarização:
o que também pode ser usado em provas para passar de
a
. Aqui, aplicando essa fórmula com
recupera-se
, como checado.