Seja
uma função holomorfa no aberto conexo
. Prove que
é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
.
Passo 1
O enunciado diz que
é holomorfa num aberto conexo
e que
. Queremos mostrar que
é constante.
Conteúdo: aplicação das equações de Cauchy–Riemann a , sabendo que a parte imaginária
é identicamente zero.
Conteúdo: aplicação das equações de Cauchy–Riemann a
Passo 2
Escrevendo
a hipótese
implica que para todo
vale
Como
é holomorfa,
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Passo 3
Da identidade
segue
e
. Substituindo nas Cauchy–Riemann obtemos
em todo
. Portanto a função real
tem todas as derivadas parciais nulas, logo é constante em
.