Seja
uma função holomorfa no aberto conexo
. Prove que
é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
.
Passo 1
O enunciado diz que
é holomorfa em um aberto conexo
e que
Queremos mostrar que
é constante. Vamos usar os seguintes resultados de teoria de funções holomorfas:
- Se um aberto é simplesmente conexo e não contém
, então existe um ramo holomorfo do logaritmo nele. - A parte imaginária de uma função holomorfa é harmônica e satisfaz o Princípio do Máximo/Mínimo.
- O Teorema do Mapeamento Aberto: uma função holomorfa não-constante tem imagem aberta.
Passo 2
Como
tem exatamente duas componentes conexas (meio–plano superior
e meio–plano inferior
) e
é conexão contínua de
, necessariamente
Em qualquer dos casos,
em
.
Passo 3
Escolhendo a componente em que
cai (por exemplo o meio–plano superior), sabemos que este meio–plano é simplesmente conexo e não contém
. Logo existe um ramo holomorfo do logaritmo nele, que chamaremos de
. Definimos então
que é holomorfo em
e satisfaz
.
Passo 4
A parte imaginária de
é
e como
está num dos meio–planos
ou
, temos
Mas
é harmônica e limitada num intervalo fechado. Pelo Princípio do Máximo e do Mínimo para funções harmônicas,
é constante em
. Então
uma reta horizontal, que não é aberta em
. Pelo Teorema do Mapeamento Aberto, a única forma de uma função holomorfa ter imagem não aberta é ser constante. Logo
é constante.
Passo 5
Como
é constante,
também é constante.