Seja f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa no aberto conexo \Omega \subset \mathbb{C}. Prove que f é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
f(\Omega) \subset \mathbb{C}-\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \Omega\to\mathbb{C} é holomorfa em um aberto conexo \Omega e que
f(\Omega)\subset \mathbb{C}-\mathbb{R}.
Queremos mostrar que f é constante. Vamos usar os seguintes resultados de teoria de funções holomorfas:
  1. Se um aberto é simplesmente conexo e não contém 0, então existe um ramo holomorfo do logaritmo nele.
  2. A parte imaginária de uma função holomorfa é harmônica e satisfaz o Princípio do Máximo/Mínimo.
  3. O Teorema do Mapeamento Aberto: uma função holomorfa não-constante tem imagem aberta.

Passo 2

Como \mathbb{C}-\mathbb{R} tem exatamente duas componentes conexas (meio–plano superior \{\Im w>0\} e meio–plano inferior \{\Im w<0\}) e f(\Omega) é conexão contínua de \Omega, necessariamente
\text{ou }f(\Omega)\subset \{w\in\mathbb{C}\mid \Im w>0\}, \quad\text{ou }f(\Omega)\subset \{w\in\mathbb{C}\mid \Im w<0\}.
Em qualquer dos casos, f(z)\neq0 em \Omega.

Passo 3

Escolhendo a componente em que f(\Omega) cai (por exemplo o meio–plano superior), sabemos que este meio–plano é simplesmente conexo e não contém 0. Logo existe um ramo holomorfo do logaritmo nele, que chamaremos de \Log. Definimos então
g(z) \;=\; \Log\bigl(f(z)\bigr),
que é holomorfo em \Omega e satisfaz \exp\bigl(g(z)\bigr)=f(z).

Passo 4

A parte imaginária de g é
\Im\bigl(g(z)\bigr) =\Arg\bigl(f(z)\bigr),
e como f(\Omega) está num dos meio–planos \Im w>0 ou \Im w<0, temos
\Im\bigl(g(z)\bigr)\equiv \theta \quad\text{com \(\theta\) fixo em }(0,\pi)\text{ ou }(-\pi,0).
Mas \Im(g) é harmônica e limitada num intervalo fechado. Pelo Princípio do Máximo e do Mínimo para funções harmônicas, \Im(g) é constante em \Omega. Então
g(\Omega)\subset \{u+i\theta\mid u\in\mathbb{R}\},
uma reta horizontal, que não é aberta em \mathbb{C}. Pelo Teorema do Mapeamento Aberto, a única forma de uma função holomorfa ter imagem não aberta é ser constante. Logo g é constante.

Passo 5

Como g é constante, \exp\circ g = f também é constante.

Resposta

f é constante.

Exercícios relacionados