Seja f: R R uma função contínua 2 pi-periódica. Dado um número real a, mostre que:
integrala-pi^a+pi f(x) d x=integral-pi^pi f(x) d x

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR é contínua e 2pi-periódica, isto é,
f(x+2pi)=f(x)para todo (x)
Precisamos mostrar que, para todo real a,
integrala-pi^a+pif(x),dx = integral-pi^pif(x),dx
A ideia chave é notar que integrar f num intervalo de comprimento 2pi não depende do ponto de partida, pois o comprimento do intervalo coincide com o período.

Passo 2

Definimos a função
H(a)=integrala-pi^,a+pif(x),dx
Como f é contínua, podemos diferenciar sob o sinal de integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para limites dependentes de a. Obtemos
H'(a) = dda!l[integrala-pi^,a+pif(x),dxr] = fl(a+pir)cdotdda(a+pi) - fl(a-pir)cdotdda(a-pi)
H'(a) = f(a+pi)-f(a-pi)
Pela periodicidade de período 2pi,
f(a+pi) = fl((a-pi)+2pir) = f(a-pi),
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H'(a)=f(a+pi)-f(a-pi)=0
Isso mostra que H(a) é constante em a.

Passo 3

Como H(a) é constante, basta avaliar em um valor conveniente, por exemplo a=0. Temos
H(0) = integral0-pi^,0+pif(x),dx = integral-pi^pif(x),dx
Mas, sendo H(a) constante, para qualquer a vale
H(a)=H(0) ;Longrightarrow; integrala-pi^a+pif(x),dx = integral-pi^pif(x),dx

Resposta

integrala-pi^a+pif(x),dx = integral-pi^pif(x),dx para todo real (a)

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