Seja
uma função contínua
-periódica. Dado um número real
, mostre que:
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e
-periódica, isto é,
Precisamos mostrar que, para todo real
,
A ideia chave é notar que integrar
num intervalo de comprimento
não depende do ponto de partida, pois o comprimento do intervalo coincide com o período.
Passo 2
Definimos a função
Como
é contínua, podemos diferenciar sob o sinal de integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para limites dependentes de
. Obtemos
Pela periodicidade de período
,
logo
Isso mostra que
é constante em
.
Passo 3
Como
é constante, basta avaliar em um valor conveniente, por exemplo
. Temos
Mas, sendo
constante, para qualquer
vale