Seja f: R-R a função dada por f(x)=|x|+x.
Como se define a função f^prime ?

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de f(x)=|x|+x, ou seja, queremos entender como diferenciar uma função que envolve valor absoluto. Para isso vamos usar conceito de derivada de função por partes e a definição de |x|.

Passo 2

Primeiro reescrevemos f em forma de função por partes, lembrando que
|x|=x,&x>=0,-x,&x<0 Então
f(x)=|x|+x=x+x=2x,&x>=0,-x+x=0,&x<0

Passo 3

Agora aplicamos a derivação em cada ramo. Para x>0 temos f(x)=2x, logo f’(x)=2. Para x<0 temos f(x)=0, logo f’(x)=0. Estamos usando que a derivada de ax é a e de constante é zero.

Passo 4

Por fim, checamos o ponto x=0. O limite da derivada pela direita é 2 e pela esquerda é 0. Como esses limites laterais não coincidem, f não é diferenciável em x=0. Assim, não existe f’(0).

Resposta

f'(x)=0,&x<0,2,&x>0,não existe,&x=0 ã

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