Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que
  • f^prime(0)=f^prime(4)=0,
  • f^prime(x) neq 0 para todo x in(0,4),
  • f^prime(x)>0 para todo x>4,
    Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função f satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função f nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função f nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
f(0) neq f(4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. As condições que a função precisa satisfazer são:
  • A derivada de $ f $ em 0 é zero, ou seja, $ f^{\prime}(0) = 0 $.
  • A derivada de $ f $ em 4 também é zero, $ f^{\prime}(4) = 0 $.
  • Para todo $ x $ entre 0 e 4, a derivada $ f^{\prime}(x) $ não é zero.
  • Para todo $ x $ maior que 4, a derivada $ f^{\prime}(x) $ é positiva.
A gente precisa analisar a afirmação $ f(0) \neq f(4) $ e ver se ela é necessariamente verdadeira, necessariamente falsa ou pode ser verdadeira dependendo da função escolhida que satisfaça as condições acima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ f^{\prime}(0) = 0 $ e $ f^{\prime}(4) = 0 $. Isso indica que nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 4 $, a tangente à curva da função é horizontal. Ou seja, esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Agora, a condição $ f^{\prime}(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0,4) $ nos diz que entre 0 e 4, a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo, mas não tem pontos onde a derivada é zero, ou seja, não há outros extremos nesse intervalo além de possivelmente nos pontos 0 e 4.
Além disso, para $ x > 4 $, $ f^{\prime}(x) > 0 $ significa que a função está sempre aumentando após $ x = 4 $.

Passo 3

Vamos pensar no comportamento da função:
  • Em $ x < 0 $, a derivada não foi especificada, então a função pode estar aumentando ou diminuindo.
  • Em $ x = 0 $, temos $ f^{\prime}(0) = 0 $. Pode ser um ponto de mínimo ou máximo.
  • De $ x = 0 $ até $ x = 4 $, a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo (já que a derivada nunca é zero nesse intervalo).
  • Em $ x = 4 $, novamente temos $ f^{\prime}(4) = 0 $, podendo ser outro ponto de mínimo ou máximo.
  • Para $ x > 4 $, a função está sempre aumentando.

Passo 4

Vamos considerar dois cenários diferentes para ver se $ f(0) \neq f(4) $ pode ser verdadeiro ou false:
  1. Função Crescente de 0 a 4:
    • Se a função está aumentando de 0 a 4, então $ f(4) > f(0) $. Neste caso, $ f(0) \neq f(4) $ é verdadeiro.
  2. Função Decrescente de 0 a 4:
    • Se a função está diminuindo de 0 a 4, então $ f(4) < f(0) $. Novamente, $ f(0) \neq f(4) $ é verdadeiro.
  3. Função com $ f(0) = f(4) $:
    • Para $ f(0) = f(4) $, a função teria que voltar ao valor inicial após de 0 a 4, mas isso exigiria que a derivada se tornasse zero em algum ponto entre 0 e 4, o que contraria a condição $ f^{\prime}(x) \neq 0 $ para $ x \in (0,4) $.
Portanto, não é possível que $ f(0) = f(4) $ sob as condições dadas.

Passo 5

Com base na análise acima, vimos que sob as condições dadas, sempre teremos $ f(0) \neq f(4) $. Seja a função aumentando ou diminuindo de 0 a 4, os valores em 0 e 4 são diferentes.

Resposta

A afirmação $ f(0) \neq f(4) $ é necessariamente verdadeira.

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