Seja
derivável em
, tal que
-
,
-
para todo
,
-
para todo
,
Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função
satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função
nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função
nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. As condições que a função precisa satisfazer são:
- A derivada de $ f $ em 0 é zero, ou seja, $ f^{\prime}(0) = 0 $.
- A derivada de $ f $ em 4 também é zero, $ f^{\prime}(4) = 0 $.
- Para todo $ x $ entre 0 e 4, a derivada $ f^{\prime}(x) $ não é zero.
- Para todo $ x $ maior que 4, a derivada $ f^{\prime}(x) $ é positiva.
A gente precisa analisar a afirmação $ f(0) \neq f(4) $ e ver se ela é necessariamente verdadeira, necessariamente falsa ou pode ser verdadeira dependendo da função escolhida que satisfaça as condições acima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ f^{\prime}(0) = 0 $ e $ f^{\prime}(4) = 0 $. Isso indica que nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 4 $, a tangente à curva da função é horizontal. Ou seja, esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Agora, a condição $ f^{\prime}(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0,4) $ nos diz que entre 0 e 4, a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo, mas não tem pontos onde a derivada é zero, ou seja, não há outros extremos nesse intervalo além de possivelmente nos pontos 0 e 4.
Além disso, para $ x > 4 $, $ f^{\prime}(x) > 0 $ significa que a função está sempre aumentando após $ x = 4 $.
Passo 3
Vamos pensar no comportamento da função:
- Em $ x < 0 $, a derivada não foi especificada, então a função pode estar aumentando ou diminuindo.
- Em $ x = 0 $, temos $ f^{\prime}(0) = 0 $. Pode ser um ponto de mínimo ou máximo.
- De $ x = 0 $ até $ x = 4 $, a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo (já que a derivada nunca é zero nesse intervalo).
- Em $ x = 4 $, novamente temos $ f^{\prime}(4) = 0 $, podendo ser outro ponto de mínimo ou máximo.
- Para $ x > 4 $, a função está sempre aumentando.
Passo 4
Vamos considerar dois cenários diferentes para ver se $ f(0) \neq f(4) $ pode ser verdadeiro ou false:
-
Função Crescente de 0 a 4:
- Se a função está aumentando de 0 a 4, então $ f(4) > f(0) $. Neste caso, $ f(0) \neq f(4) $ é verdadeiro.
-
Função Decrescente de 0 a 4:
- Se a função está diminuindo de 0 a 4, então $ f(4) < f(0) $. Novamente, $ f(0) \neq f(4) $ é verdadeiro.
-
Função com $ f(0) = f(4) $:
- Para $ f(0) = f(4) $, a função teria que voltar ao valor inicial após de 0 a 4, mas isso exigiria que a derivada se tornasse zero em algum ponto entre 0 e 4, o que contraria a condição $ f^{\prime}(x) \neq 0 $ para $ x \in (0,4) $.
Portanto, não é possível que $ f(0) = f(4) $ sob as condições dadas.
Passo 5
Com base na análise acima, vimos que sob as condições dadas, sempre teremos $ f(0) \neq f(4) $. Seja a função aumentando ou diminuindo de 0 a 4, os valores em 0 e 4 são diferentes.
Resposta
A afirmação $ f(0) \neq f(4) $ é necessariamente verdadeira.