Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que
  • f^prime(0)=f^prime(4)=0,
  • f^prime(x) neq 0 para todo x in(0,4),
  • f^prime(x)>0 para todo x>4,
    Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função f satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função f nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função f nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
    f possui duas raízes em (0,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. As condições dadas são:
  • A derivada em 0 e em 4 é igual a zero, ou seja, $ f’(0) = f’(4) = 0 $.
  • A derivada nunca é zero no intervalo aberto entre 0 e 4, $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0,4) $.
  • A derivada é positiva para todo $ x > 4 $, isto é, $ f’(x) > 0 $ para $ x > 4 $.
Queremos classificar a afirmação: “f possui duas raízes em $ (0,4) $”, ou seja, se a função $ f $ cruza o eixo x duas vezes dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas afetam o comportamento das funções, especialmente no que diz respeito a como a função pode crescer ou decrescer.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa ter $ f’(0) = f’(4) = 0 $. Isso indica que em $ x = 0 $ e $ x = 4 $, a inclinação da função é horizontal; esses pontos são chamados de pontos críticos. Geralmente, pontos críticos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, a condição $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0,4) $ nos diz que, dentro desse intervalo, a função nunca tem uma derivada igual a zero. Isso significa que a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo no intervalo $ (0,4) $, porque a derivada positiva indica crescimento e a negativa, decrescimento.

Passo 4

Como a derivada nunca é zero entre 0 e 4, a função $ f $ é estritamente monótona nesse intervalo. Ou seja, ela está sempre subindo ou sempre descendo. Se for sempre subindo, ela pode cruzar o eixo x no máximo uma vez. O mesmo vale se estiver sempre descendo.

Passo 5

Para ter duas raízes em $ (0,4) $, a função precisaria cruzar o eixo x duas vezes nesse intervalo. No entanto, como $ f $ é estritamente monótona em $ (0,4) $, isso não é possível. Uma função que está sempre subindo ou sempre descendo não consegue cruzar o eixo x mais de uma vez nesse intervalo.

Resposta

Necessariamente falsa.

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