Seja
derivável em
, tal que
-
,
-
para todo
,
-
para todo
,
Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função
satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função
nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função
nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
possui duas raízes em
Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. As condições dadas são:
- A derivada em 0 e em 4 é igual a zero, ou seja, $ f’(0) = f’(4) = 0 $.
- A derivada nunca é zero no intervalo aberto entre 0 e 4, $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0,4) $.
- A derivada é positiva para todo $ x > 4 $, isto é, $ f’(x) > 0 $ para $ x > 4 $.
Queremos classificar a afirmação: “f possui duas raízes em $ (0,4) $”, ou seja, se a função $ f $ cruza o eixo x duas vezes dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas afetam o comportamento das funções, especialmente no que diz respeito a como a função pode crescer ou decrescer.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa ter $ f’(0) = f’(4) = 0 $. Isso indica que em $ x = 0 $ e $ x = 4 $, a inclinação da função é horizontal; esses pontos são chamados de pontos críticos. Geralmente, pontos críticos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Agora, a condição $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0,4) $ nos diz que, dentro desse intervalo, a função nunca tem uma derivada igual a zero. Isso significa que a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo no intervalo $ (0,4) $, porque a derivada positiva indica crescimento e a negativa, decrescimento.
Passo 4
Como a derivada nunca é zero entre 0 e 4, a função $ f $ é estritamente monótona nesse intervalo. Ou seja, ela está sempre subindo ou sempre descendo. Se for sempre subindo, ela pode cruzar o eixo x no máximo uma vez. O mesmo vale se estiver sempre descendo.
Passo 5
Para ter duas raízes em $ (0,4) $, a função precisaria cruzar o eixo x duas vezes nesse intervalo. No entanto, como $ f $ é estritamente monótona em $ (0,4) $, isso não é possível. Uma função que está sempre subindo ou sempre descendo não consegue cruzar o eixo x mais de uma vez nesse intervalo.
Resposta
Necessariamente falsa.