Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que
  • f^prime(0)=f^prime(4)=0,
  • f^prime(x) neq 0 para todo x in(0,4),
  • f^prime(x)>0 para todo x>4,
    Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função f satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função f nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função f nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
    f é injetiva em (4,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. As condições que conhecemos são:
  • A derivada de $ f $ em 0 e em 4 é zero, ou seja, $ f’(0) = f’(4) = 0 $.
  • Entre 0 e 4, a derivada nunca é zero: $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x $ em (0,4).
  • Para todo $ x > 4 $, a derivada é positiva: $ f’(x) > 0 $.
Vamos precisar entender sobre funções injetivas e como a derivada influencia isso.

Passo 2

Primeiro, o que significa uma função ser injetiva? Basicamente, uma função é injetiva se cada elemento do conjunto de saída é imagem de no máximo um elemento do conjunto de entrada. Em outras palavras, se $ f(a) = f(b) $ então necessariamente $ a = b $. Isso evita que a função “se repita”, ou seja, que tenha dois valores diferentes de $ x $ que dão o mesmo $ f(x) $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da função onde $ x > 4 $. Sabemos que $ f’(x) > 0 $ nessa região. O que isso significa?
A derivada positiva indica que a função está sempre aumentando nesse intervalo. Se a função está sempre aumentando, isso quer dizer que não há nenhum ponto onde ela desça ou fique constante. Então, para qualquer $ x_1 $ e $ x_2 $ com $ x_1 < x_2 $, teremos $ f(x_1) < f(x_2) $.

Passo 4

Se a função está sempre aumentando em $ (4, +\infty) $, isso garante que não haverá dois valores diferentes de $ x $ nesse intervalo que resultem no mesmo $ f(x) $. Ou seja, se $ f(x_1) = f(x_2) $ com $ x_1, x_2 > 4 $, então necessariamente $ x_1 = x_2 $.

Resposta

A afirmação " f é injetiva em (4,+infty)" é necessariamente verdadeira.

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