Seja f: \Re^{3} \rightarrow \Re^{2} \mathrm{a} TL definida por f(1,0,0)=(2,3), f(0,1,0)=(-4,1) e f(0,0,1)=(-2,-1). Encontre \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) e [f]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e fornece as imagens dos vetores canônicos:
  • f(1,0,0)=(2,3).
  • f(0,1,0)=(-4,1).
  • f(0,0,1)=(-2,-1).
O que o problema pede:
  1. Encontrar a expressão de f(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
  2. Encontrar a matriz de f na base canônica, isto é, a matriz [f].

Passo 2

Lembrete importante (conceito que vamos usar): por linearidade, uma transformação linear satisfaz
f(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})=a\,f(\mathbf{u})+b\,f(\mathbf{v})
para quaisquer escalares a,b e vetores \mathbf{u},\mathbf{v}.
Qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores canônicos:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1),
onde x,y,z são os coeficientes (as coordenadas do vetor). Vamos aplicar f a essa combinação e usar a propriedade de linearidade para obter f(x,y,z).

Passo 3

Aplicando f à expressão acima e usando linearidade:
f(x,y,z)=x\,f(1,0,0)+y\,f(0,1,0)+z\,f(0,0,1).
Substituindo as imagens fornecidas:
f(x,y,z)=x(2,3)+y(-4,1)+z(-2,-1).

Passo 4

Agora somamos componente a componente. Primeiro componente (coordenada 1 em \mathbb{R}^2):
2x + (-4)y + (-2)z = 2x-4y-2z.
Segunda componente (coordenada 2 em \mathbb{R}^2):
3x + 1\cdot y + (-1)z = 3x + y - z.
Portanto, a expressão final é
f(x,y,z)=\bigl(2x-4y-2z,\;3x+y-z\bigr).

Passo 5

Agora vamos formar a matriz de f relativa às bases canônicas. Regra prática: a matriz de uma transformação linear tem como colunas as imagens dos vetores canônicos, escritas como vetores coluna.
As colunas serão:
  • primeira coluna =f(1,0,0)=(2,3)^\top,
  • segunda coluna =f(0,1,0)=(-4,1)^\top,
  • terceira coluna =f(0,0,1)=(-2,-1)^\top.
Assim a matriz [f] tem dimensão 2\times3.

Passo 6

Escrevendo a matriz explicitamente:
[f]=\begin{pmatrix}2 & -4 & -2\\[4pt] 3 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando [f] pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}2 & -4 & -2\\[4pt] 3 & 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-4y-2z\\[4pt] 3x+y-z\end{pmatrix},
que coincide com f(x,y,z) que encontramos.]

Passo 7

Exemplo numérico (para ganhar confiança): calcule f(1,2,-1).
Pela fórmula,
f(1,2,-1)=\bigl(2\cdot1-4\cdot2-2\cdot(-1),\;3\cdot1+1\cdot2-(-1)\bigr)=(-4,6).
E fazendo [f]\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} obtém-se o mesmo vetor coluna \begin{pmatrix}-4\\\ 6\end{pmatrix}.

Resposta

f(x,y,z)=\bigl(2x-4y-2z,\;3x+y-z\bigr)
[f]=\begin{pmatrix}2 & -4 & -2\\[4pt] 3 & 1 & -1\end{pmatrix}

Exercícios relacionados