Seja f: \Re^{3} \rightarrow \Re^{2} \mathrm{a} TL definida por f(1,0,0)=(2,3), f(0,1,0)=(-4,1) e f(0,0,1)=(-2,-1). Encontre \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) e [f]
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e fornece as imagens dos vetores canônicos:
f(1,0,0)=(2,3).
f(0,1,0)=(-4,1).
f(0,0,1)=(-2,-1).
O que o problema pede:
Encontrar a expressão de f(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
Encontrar a matriz de f na base canônica, isto é, a matriz [f].
Passo 2
Lembrete importante (conceito que vamos usar): por linearidade, uma transformação linear satisfaz
para quaisquer escalares a,b e vetores \mathbf{u},\mathbf{v}.
Qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores canônicos:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1),
onde x,y,z são os coeficientes (as coordenadas do vetor). Vamos aplicar f a essa combinação e usar a propriedade de linearidade para obter f(x,y,z).
Passo 3
Aplicando f à expressão acima e usando linearidade:
f(x,y,z)=x\,f(1,0,0)+y\,f(0,1,0)+z\,f(0,0,1).
Substituindo as imagens fornecidas:
f(x,y,z)=x(2,3)+y(-4,1)+z(-2,-1).
Passo 4
Agora somamos componente a componente. Primeiro componente (coordenada 1 em \mathbb{R}^2):
2x + (-4)y + (-2)z = 2x-4y-2z.
Segunda componente (coordenada 2 em \mathbb{R}^2):
3x + 1\cdot y + (-1)z = 3x + y - z.
Portanto, a expressão final é
f(x,y,z)=\bigl(2x-4y-2z,\;3x+y-z\bigr).
Passo 5
Agora vamos formar a matriz de f relativa às bases canônicas. Regra prática: a matriz de uma transformação linear tem como colunas as imagens dos vetores canônicos, escritas como vetores coluna.