Seja
uma função que admite primitivas e
, onde
. Mostre que:
se
for uma função par, então
se
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Informação:
admite primitivas (ou seja, existe uma função tal que em ). - Informação:
com . - Informação adicional do enunciado para o caso que vamos provar:
é uma função par. - O que o enunciado pede: mostrar que, sob essas hipóteses,
Passo 2
Definição essencial (explicada devagar): dizer que
é uma função par significa exatamente que, para todo
no domínio,
Isso é a única propriedade da paridade que vamos usar: valores de
em
e em
são iguais.
Passo 3
Vamos partir a integral sobre
em duas integrais mais simples (uma sobre
e outra sobre
). Esta é uma propriedade básica da integral definida: se
está entre os extremos,
Aqui
. Esse passo só reorganiza a soma sem calcular nada ainda.
Passo 4
Agora vamos calcular
fazendo uma mudança de variável simples. Tomamos a substituição
Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. Aplicando a mudança de variável na integral:
Repare que trocar os limites e o sinal do diferencial simplifica:
. Assim
Passo 5
Usamos agora a paridade de
. Como
é par, temos
para todo
. Substituindo na igualdade do Passo 4 obtemos
Aqui apenas trocamos a notação de variável de integração
para
(o nome é indiferente), portanto também podemos escrever
Passo 6
Voltamos à soma do Passo 3 e substituímos o resultado do Passo 5:
Somando os dois termos iguais obtemos