Seja f: A \rightarrow \mathbb{R} uma função que admite primitivas e [-a, a] \subset A, onde a>0. Mostre que:
se f for uma função par, então
\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Informação: f: A \to \mathbb{R} admite primitivas (ou seja, existe uma função F tal que F'(x)=f(x) em A).
  • Informação: [-a,a]\subset A com a>0.
  • Informação adicional do enunciado para o caso que vamos provar: f é uma função par.
  • O que o enunciado pede: mostrar que, sob essas hipóteses,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.

Passo 2

Definição essencial (explicada devagar): dizer que f é uma função par significa exatamente que, para todo x no domínio,
f(-x)=f(x).
Isso é a única propriedade da paridade que vamos usar: valores de f em x e em -x são iguais.

Passo 3

Vamos partir a integral sobre [-a,a] em duas integrais mais simples (uma sobre [-a,0] e outra sobre [0,a]). Esta é uma propriedade básica da integral definida: se c está entre os extremos,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Aqui c=0. Esse passo só reorganiza a soma sem calcular nada ainda.

Passo 4

Agora vamos calcular \displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx fazendo uma mudança de variável simples. Tomamos a substituição
x = -t.
Então dx = -dt. Quando x=-a temos t=a. Quando x=0 temos t=0. Aplicando a mudança de variável na integral:
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{t=a}^{t=0} f(-t)\,(-dt).
Repare que trocar os limites e o sinal do diferencial simplifica: \int_{a}^{0} g(t)(-dt)=\int_{0}^{a} g(t)\,dt. Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.

Passo 5

Usamos agora a paridade de f. Como f é par, temos f(-t)=f(t) para todo t. Substituindo na igualdade do Passo 4 obtemos
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Aqui apenas trocamos a notação de variável de integração t para x (o nome é indiferente), portanto também podemos escrever
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx.

Passo 6

Voltamos à soma do Passo 3 e substituímos o resultado do Passo 5:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Somando os dois termos iguais obtemos
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.

Resposta

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx

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