Use o exercício anterior para calcular as integrais definidas abaixo.
Sabendo que
é uma função par e que
, determine o valor de
.
Sabendo que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A função
é par, isto é, satisfaz . -
O que o exercício pede:
- Determinar o valor de
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a integral pedida como soma de duas integrais mais simples, usando que o intervalo
pode ser dividido em
e
:
Isto é só a propriedade linear e aditiva da integral definida: a integral sobre um intervalo é a soma das integrais sobre subintervalos disjuntos que o cobrem.
Passo 3
Agora vamos analisar
. Faço a mudança de variável
. Então quando
vem
e quando
vem
. Além disso
. Aplicando:
Como
é par,
para todo
. Portanto
(Note que o nome da variável de integração é irrelevante, pode voltar a chamar de
.)
Passo 4
Voltando à soma do Passo 2, temos agora
Substituindo o valor dado
, obtemos