Use o exercício anterior para calcular as integrais definidas abaixo.
Sabendo que f é uma função par e que \int_{0}^{1} f(x) d x=5, determine o valor de \int_{-1}^{1} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A função f é par, isto é, satisfaz \forall x:\; f(-x)=f(x).
  • \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 5.
O que o exercício pede:
  • Determinar o valor de \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a integral pedida como soma de duas integrais mais simples, usando que o intervalo [-1,1] pode ser dividido em [-1,0] e [0,1]:
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Isto é só a propriedade linear e aditiva da integral definida: a integral sobre um intervalo é a soma das integrais sobre subintervalos disjuntos que o cobrem.

Passo 3

Agora vamos analisar \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx. Faço a mudança de variável t=-x. Então quando x=-1 vem t=1 e quando x=0 vem t=0. Além disso dt=-dx. Aplicando:
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{1}^{0} f(-t)\,(-dt) = \int_{0}^{1} f(-t)\,dt.
Como f é par, f(-t)=f(t) para todo t. Portanto
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(t)\,dt.
(Note que o nome da variável de integração é irrelevante, pode voltar a chamar de x.)

Passo 4

Voltando à soma do Passo 2, temos agora
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} f(x)\,dx + \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Substituindo o valor dado \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 5, obtemos
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\cdot 5 = 10.

Resposta

10

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