Seja f: A \rightarrow \mathbb{R} uma função que admite primitivas e [-a, a] \subset A, onde a>0. Mostre que:
se f for uma função ímpar, então
\int_{-a}^{a} f(x) d x=0
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
f: A \to \mathbb{R} é uma função que admite primitivas (ou seja, existe uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x\in A).
[-a,a]\subset A com a>0.
f é ímpar, isto é, para todo x\in A vale \,f(-x)=-f(x)\,.
O que precisa ser mostrado: provar que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Passo 2
Lembrando duas coisas fundamentais que usarei:
Definição de função ímpar: \,f(-x)=-f(x)\, para todo x.
Teorema fundamental do cálculo (versão usada): se F é uma primitiva de f em um intervalo que contém [-a,a], então, para quaisquer u<v em [-a,a],
\int_{u}^{v} f(x)\,dx = F(v)-F(u).
Também vou usar uma técnica simples de substituição em integrais: trocar a variável por x=-t quando for conveniente, cuidando das novas limites e do sinal de dx.
Passo 3
Quebrar a integral no ponto 0. Isso é legítimo porque 0\in[-a,a]:
Apresento também uma prova alternativa usando diretamente primitivas (já que o enunciado afirma que elas existem). Seja F uma primitiva de f, isto é, F'(x)=f(x) para todo x\in[-a,a]. Considere a função
G(x) = F(x) - F(-x).
Calcule a derivada de G (usando a regra da cadeia para F(-x)):
Mas f é ímpar, então f(x)+f(-x)=0. Logo G'(x)=0 para todo x, o que implica que G é constante. Avaliando em x=0 dá G(0)=F(0)-F(0)=0, logo a constante é 0 e temos F(x)=F(-x) para todo x: a primitiva F é par. Aplicando o teorema fundamental do cálculo,