Seja f: A \rightarrow \mathbb{R} uma função que admite primitivas e [-a, a] \subset A, onde a>0. Mostre que:
se f for uma função ímpar, então
\int_{-a}^{a} f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f: A \to \mathbb{R} é uma função que admite primitivas (ou seja, existe uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x\in A).
  • [-a,a]\subset A com a>0.
  • f é ímpar, isto é, para todo x\in A vale \,f(-x)=-f(x)\,.
O que precisa ser mostrado: provar que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.

Passo 2

Lembrando duas coisas fundamentais que usarei:
  • Definição de função ímpar: \,f(-x)=-f(x)\, para todo x.
  • Teorema fundamental do cálculo (versão usada): se F é uma primitiva de f em um intervalo que contém [-a,a], então, para quaisquer u<v em [-a,a],
\int_{u}^{v} f(x)\,dx = F(v)-F(u).
Também vou usar uma técnica simples de substituição em integrais: trocar a variável por x=-t quando for conveniente, cuidando das novas limites e do sinal de dx.

Passo 3

Quebrar a integral no ponto 0. Isso é legítimo porque 0\in[-a,a]:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
A ideia é mostrar que a primeira parcela é o negativo da segunda, logo a soma será zero.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx por substituição. Faça a mudança de variável x=-t. Então:
  • quando x=-a temos t=a;
  • quando x=0 temos t=0;
  • dx = -dt.
Portanto,
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{t=a}^{t=0} f(-t)\,(-dt).
Trocando os limites (o que inverte o sinal), ou simplificando os sinais, obtemos
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.

Passo 5

Usar a paridade ímpar de f. Como f é ímpar, temos f(-t)=-f(t) para todo t. Substituindo:
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} \bigl(-f(t)\bigr)\,dt = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Renomeando a variável t de volta para x (isso não altera o valor da integral),
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(x)\,dx.

Passo 6

Voltar à soma do Passo 3 e usar o resultado do Passo 5:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \underbrace{\int_{-a}^{0} f(x)\,dx}_{-\int_{0}^{a} f(x)\,dx} + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.
Isso prova o que se pedia.

Passo 7

Apresento também uma prova alternativa usando diretamente primitivas (já que o enunciado afirma que elas existem). Seja F uma primitiva de f, isto é, F'(x)=f(x) para todo x\in[-a,a]. Considere a função
G(x) = F(x) - F(-x).
Calcule a derivada de G (usando a regra da cadeia para F(-x)):
G'(x) = F'(x) - \bigl(-F'(-x)\bigr) = f(x) + f(-x).
Mas f é ímpar, então f(x)+f(-x)=0. Logo G'(x)=0 para todo x, o que implica que G é constante. Avaliando em x=0 G(0)=F(0)-F(0)=0, logo a constante é 0 e temos F(x)=F(-x) para todo x: a primitiva F é par. Aplicando o teorema fundamental do cálculo,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = F(a)-F(-a) = F(a)-F(a)=0.
Essa é uma prova curta e elegante aproveitando a existência de primitivas.

Resposta

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0

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