Calcule a área da região delimitada pelas retas x=0, x=3 \pi / 2, y=0 e o gráfico da função cosseno.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas retas x=0, x=\dfrac{3\pi}{2}, y=0 e o gráfico da função y=\cos x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os limites em x são x=0 e x=\dfrac{3\pi}{2}.
  • A curva é y=\cos x.
  • A reta horizontal é y=0 (eixo x).
  • A área pedida é a região entre o gráfico de \cos x e o eixo x para 0\le x\le \dfrac{3\pi}{2}.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): área entre uma curva e o eixo x.
  • A integral \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx dá a “área assinada” entre a curva y=f(x) e o eixo x: partes acima do eixo contribuem positivamente, partes abaixo contribuem negativamente.
  • Para obter a área geométrica (sempre positiva), usa-se a integral da função valor absoluto: \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx. Na prática, isso costuma ser feito quebrando o intervalo em subintervalos onde f(x) mantém sinal e somando as integrais dos valores absolutos.
    Vou aplicar isso aqui para f(x)=\cos x.

Passo 3

Encontrar onde \cos x cruza o eixo x no intervalo dado (esses pontos vão dividir os subintervalos de sinais). Resolver \cos x=0. As soluções gerais são x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. No intervalo 0\le x\le \dfrac{3\pi}{2} aparecem os zeros:
  • x=\dfrac{\pi}{2} e
  • x=\dfrac{3\pi}{2}.
    Portanto, entre 0 e \dfrac{\pi}{2} tem \cos x\ge0 (positivo), e entre \dfrac{\pi}{2} e \dfrac{3\pi}{2} tem \cos x\le0 (negativo).

Passo 4

Montar a expressão da área usando a decomposição por sinais:
\text{Área}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(-\cos x)\,dx.Á
Expliquei: no primeiro subintervalo \cos x é não negativo, então integro \cos x; no segundo \cos x é negativo, então a área é -\cos x integrado (isso equivale a \int |\,\cos x\,|\,dx).

Passo 5

Calcular as integrais passo a passo. A primitiva de \cos x é \sin x.
Primeira integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin 0=1-0=1.
Segunda integral:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(-\cos x)\,dx=-\left[\sin x\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}= -\big(\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\big).
Agora os valores: \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1 e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1. Então
-\big((-1)-1\big)=-(-2)=2.

Passo 6

Somar as contribuições dos dois pedaços:
\text{Área}=1+2=3.Á
Interpretação geométrica rápida: entre 0 e \tfrac{\pi}{2} a curva fica acima do eixo e forma uma “colina” de área 1; entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} a curva fica abaixo formando uma “vala” cuja área absoluta é 2. Juntando dá 3.

Resposta

3

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