Calcule a área da região delimitada pelas retas
,
e o gráfico da função cosseno.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas retas
,
,
e o gráfico da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os limites em
são e . - A curva é
. - A reta horizontal é
(eixo ). - A área pedida é a região entre o gráfico de
e o eixo para .
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): área entre uma curva e o eixo
.
- A integral
dá a “área assinada” entre a curva e o eixo : partes acima do eixo contribuem positivamente, partes abaixo contribuem negativamente. - Para obter a área geométrica (sempre positiva), usa-se a integral da função valor absoluto:
. Na prática, isso costuma ser feito quebrando o intervalo em subintervalos onde mantém sinal e somando as integrais dos valores absolutos.
Vou aplicar isso aqui para.
Passo 3
Encontrar onde
cruza o eixo
no intervalo dado (esses pontos vão dividir os subintervalos de sinais). Resolver
. As soluções gerais são
com
. No intervalo
aparecem os zeros:
-
e -
.
Portanto, entree tem (positivo), e entre e tem (negativo).
Passo 4
Montar a expressão da área usando a decomposição por sinais:
Expliquei: no primeiro subintervalo
é não negativo, então integro
; no segundo
é negativo, então a área é
integrado (isso equivale a
).
Passo 5
Calcular as integrais passo a passo. A primitiva de
é
.
Primeira integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Agora os valores:
e
. Então
Passo 6
Somar as contribuições dos dois pedaços:
Interpretação geométrica rápida: entre
e
a curva fica acima do eixo e forma uma “colina” de área
; entre
e
a curva fica abaixo formando uma “vala” cuja área absoluta é
. Juntando dá
.