Seja
.
(a) Defina continuidade de
em
.
(b) Determine
para que a função
seja contínua em 2 .
(a) Defina continuidade de
(b) Determine
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Definir o que significa que
é contínua em . - (b) Encontrar o valor de
que torna contínua em a função
Informações dadas: a fórmula da função para
e a definição de
(valor a determinar). A tarefa é dar a definição pedida em (a) e, em (b), escolher
de modo que
seja contínua em
.]
Passo 2
Definição formal (epsilon-delta) de continuidade em
.
Seja
e
. Dizemos que
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
Explicando essa fórmula com calma:
-
é o quão perto queremos que esteja de . -
é o quanto precisamos aproximar de para garantir isso. - A condição vale somente para
que pertencem ao domínio .
Intuitivamente: valores desuficientemente próximos de produzem valores próximos de .
Forma equivalente (muito usada em prova):
é contínua em
se, e somente se,
Outra caracterização útil (sequencial): para toda sequência
que converge para
, tem-se
.
Dica prática para provas: frequentemente calcula-se
por álgebra; se esse limite existe e for igual ao valor atribuído
, então
é contínua em
. Se o valor
for ajustável (como é o caso do
), escolhe-se
igual ao limite (se existir).
Passo 3
Vamos resolver (b). Primeiro simplificar a expressão para
.
Observe que
Portanto, para
,
Assim, para
a função fica
. Esse é um polinômio (linear), e polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio.
Passo 4
Calcular o limite de
quando
usando a forma simplificada.
Como para
próximo de
(mas
) temos
, então
Portanto o limite lateral (e o limite total) existe e vale
.
Pelo critério de continuidade (ver Passo 2), para que
seja contínua em
precisamos que
seja igual a esse limite. Logo deve ser
.
Passo 5
Verificação rígida por epsilon-delta (para solidificar a ideia — útil em prova).
Escolha
. Então
. Para
temos
, logo
Dado qualquer
, basta tomar
. Então, para
com
,
Isso mostra, pela definição epsilon-delta, que
é contínua em
quando
. (Se
, teria
enquanto
, então não seria contínua.)
Resposta
(a)
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
implica
. Equivalentemente,
.
(b)
.