Seja f: A \rightarrow \mathbb{R}, x_{0} \in A.
(a) Defina continuidade de f em x_{0}.
(b) Determine L para que a função
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}-4 x+4}{x-2} & \text { se } & x \neq 2 \\\ L & \text { se } & x=2 \end{array}\right.
seja contínua em 2 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Definir o que significa que f é contínua em x_{0}.
  • (b) Encontrar o valor de L que torna contínua em 2 a função
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}-4 x+4}{x-2} & \text{se} & x \neq 2\\[4pt] L & \text{se} & x=2 \end{array}\right.
Informações dadas: a fórmula da função para x\neq2 e a definição de f(2)=L (valor a determinar). A tarefa é dar a definição pedida em (a) e, em (b), escolher L de modo que f seja contínua em 2.]

Passo 2

Definição formal (epsilon-delta) de continuidade em x_{0}.
Seja f: A \to \mathbb{R} e x_{0}\in A. Dizemos que f é contínua em x_{0} se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x\in A,
\text{se } |x-x_{0}|<\delta \text{ então } |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon.ã
Explicando essa fórmula com calma:
  • \varepsilon>0 é o quão perto queremos que f(x) esteja de f(x_{0}).
  • \delta>0 é o quanto precisamos aproximar x de x_{0} para garantir isso.
  • A condição vale somente para x que pertencem ao domínio A.
    Intuitivamente: valores de x suficientemente próximos de x_{0} produzem valores f(x) próximos de f(x_{0}).
Forma equivalente (muito usada em prova): f é contínua em x_{0} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}} f(x) = f(x_{0}).
Outra caracterização útil (sequencial): para toda sequência (x_{n})\subset A que converge para x_{0}, tem-se f(x_{n})\to f(x_{0}).
Dica prática para provas: frequentemente calcula-se \lim_{x\to x_{0}} f(x) por álgebra; se esse limite existe e for igual ao valor atribuído f(x_{0}), então f é contínua em x_{0}. Se o valor f(x_{0}) for ajustável (como é o caso do L), escolhe-se L igual ao limite (se existir).

Passo 3

Vamos resolver (b). Primeiro simplificar a expressão para x\neq2.
Observe que
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Portanto, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4x+4}{x-2}=\frac{(x-2)^{2}}{x-2}=x-2.
Assim, para x\neq2 a função fica f(x)=x-2. Esse é um polinômio (linear), e polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio.

Passo 4

Calcular o limite de f(x) quando x\to2 usando a forma simplificada.
Como para x próximo de 2 (mas x\neq2) temos f(x)=x-2, então
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (x-2)=2-2=0.
Portanto o limite lateral (e o limite total) existe e vale 0.
Pelo critério de continuidade (ver Passo 2), para que f seja contínua em 2 precisamos que f(2)=L seja igual a esse limite. Logo deve ser L=0.

Passo 5

Verificação rígida por epsilon-delta (para solidificar a ideia — útil em prova).
Escolha L=0. Então f(2)=0. Para x\neq2 temos f(x)=x-2, logo
|f(x)-f(2)|=|x-2|.
Dado qualquer \varepsilon>0, basta tomar \delta=\varepsilon. Então, para x\in\mathbb{R} com |x-2|<\delta,
|f(x)-f(2)|=|x-2|<\delta=\varepsilon.
Isso mostra, pela definição epsilon-delta, que f é contínua em 2 quando L=0. (Se L\neq0, teria |f(x)-L|\to 0 enquanto f(2)=L\neq0, então não seria contínua.)

Resposta

(a) f é contínua em x_{0} se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x\in A, |x-x_{0}|<\delta implica |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon. Equivalentemente, \lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
(b) L=0.

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