• Questão 2) Determine a equação vetorial da reta tangente à curva r(t)=\left\langle\ln t, 2 \sqrt{t}, t^{2}\right\rangle no ponto (0, 2, 1).

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta tangente à curva r(t)=\left\langle\ln t,\,2\sqrt{t},\,t^{2}\right\rangle no ponto (0,2,1).
Informações dadas:
  • A curva é r(t)=\left\langle\ln t,\,2\sqrt{t},\,t^{2}\right\rangle.
  • O ponto onde queremos a tangente é (0,2,1).
  • Observação útil: as componentes \ln t e \sqrt{t} exigem t>0, ou seja, o parâmetro deve ser positivo.

Passo 2

Encontrar o valor t_0 tal que r(t_0)=(0,2,1). Igualando componente a componente:
Para a primeira componente:
\ln t_0 = 0.
Resolver \ln t_0=0
t_0 = 1.
Agora verificar as outras componentes em t_0=1:
2\sqrt{t_0}=2\sqrt{1}=2, \qquad t_0^{2}=1^{2}=1.
Como essas correspondem a 2 e 1, concluímos que t_0=1 é o parâmetro correto que gera o ponto (0,2,1).

Passo 3

Calcular a derivada vetorial r'(t) componente a componente — isso fornece o vetor tangente à curva em cada t.
Regras de derivação usadas (explicando devagar):
  • A derivada de \ln t em relação a t é \dfrac{1}{t}.
  • A derivada de \sqrt{t}=t^{1/2} é \dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}. Como a componente é 2\sqrt{t}, por multiplicar por 2 obtemos 2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{t}}=\dfrac{1}{\sqrt{t}}.
  • A derivada de t^{2} é 2t.
Portanto,
r'(t)=\left\langle \dfrac{1}{t},\,\dfrac{1}{\sqrt{t}},\,2t\right\rangle.

Passo 4

Avaliar r'(t) no ponto t_0=1 para obter o vetor direção da reta tangente:
r'(1)=\left\langle \dfrac{1}{1},\,\dfrac{1}{\sqrt{1}},\,2\cdot 1\right\rangle=\left\langle 1,\,1,\,2\right\rangle.
Esse é o vetor direção da reta tangente no ponto dado. Repare que é diferente do vetor nulo, então define uma reta bem determinada.

Passo 5

Forma geral da reta tangente (parâmetro s livre): a reta que passa por r(t_0) com direção r'(t_0) é dada por
\ell(s)=r(t_0)+s\,r'(t_0),
onde r(t_0)=\left\langle 0,\,2,\,1\right\rangle e r'(t_0)=\left\langle 1,\,1,\,2\right\rangle. Essa fórmula é a definição padrão: uma reta em \mathbb{R}^3 é o conjunto de pontos que parte de um ponto conhecido e segue uma direção fixa.

Resposta

\displaystyle \ell(s)=\left\langle 0,\,2,\,1\right\rangle + s\left\langle 1,\,1,\,2\right\rangle
(ou, em coordenadas paramétricas: \;x= s,\; y=2+s,\; z=1+2s\;, com s\in\mathbb{R}.)

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