- Questão 2) Determine a equação vetorial da reta tangente à curva
no ponto (0, 2, 1).
Passo 1
O enunciado pede a equação vetorial da reta tangente à curva
no ponto
.
Informações dadas:
- A curva é
. - O ponto onde queremos a tangente é
. - Observação útil: as componentes
e exigem , ou seja, o parâmetro deve ser positivo.
Passo 2
Encontrar o valor
tal que
. Igualando componente a componente:
Para a primeira componente:
Resolver
dá
Agora verificar as outras componentes em
:
Como essas correspondem a
e
, concluímos que
é o parâmetro correto que gera o ponto
.
Passo 3
Calcular a derivada vetorial
componente a componente — isso fornece o vetor tangente à curva em cada
.
Regras de derivação usadas (explicando devagar):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é . Como a componente é , por multiplicar por obtemos . - A derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Avaliar
no ponto
para obter o vetor direção da reta tangente:
Esse é o vetor direção da reta tangente no ponto dado. Repare que é diferente do vetor nulo, então define uma reta bem determinada.
Passo 5
Forma geral da reta tangente (parâmetro
livre): a reta que passa por
com direção
é dada por
onde
e
. Essa fórmula é a definição padrão: uma reta em
é o conjunto de pontos que parte de um ponto conhecido e segue uma direção fixa.
Resposta
(ou, em coordenadas paramétricas:
, com
.)