Seja F um subconjunto fechado de um espaço métrico M. Se p \notin F, mostre que:
(a) d(p, F)>0.
(b) Existem abertos disjuntos G e H de maneira que p \in G e F \subset H.

Passo 1

O enunciado dá um subconjunto fechado F de um espaço métrico M e um ponto p\in M tal que p \notin F. Pede duas coisas:
(a) Mostrar que d(p,F)>0, onde d(p,F) é a distância de p ao conjunto F.
(b) Construir abertos disjuntos G e H tais que p\in G e F\subset H.
Informações relevantes fornecidas: F é fechado; p não pertence a F. Nada mais é pedido aqui — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, vamos combinar o que significa a distância de um ponto a um conjunto e o que é um conjunto fechado.
Definição da distância de um ponto p ao conjunto F:
d(p,F)=\inf\{d(p,q)\mid q\in F\}.
Isto significa que d(p,F) é o menor valor limite possível das distâncias d(p,q) quando q varia em F. A \inf (infimum) é o maior lower bound: para todo \varepsilon>0 existe algum q\in F tal que
d(p,q) < d(p,F) + \varepsilon.
Definição de conjunto fechado (útil para depois): um conjunto F é fechado se, sempre que uma sequência (q_n) com q_n\in F converge para algum x\in M, então x pertence a F. Em palavras: F contém todos os seus pontos-limite.
Também vamos usar a desigualdade triangular do métrico: para quaisquer x,y,z\in M,
d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y).

Passo 3

Prova da parte (a). Objetivo: provar que d(p,F)>0.
Estratégia natural: provar por contradição. Suponha
d(p,F)=0.
Pela propriedade do infimum, isto significa que para cada n\in\mathbb{N} existe q_n\in F tal que
d(p,q_n) < \tfrac{1}{n}.
Ou seja, construímos uma sequência (q_n) em F que satisfaz d(p,q_n)\to 0, isto é, q_n\to p.
Como F é fechado, a propriedade de fechado implica que o limite da sequência (q_n) pertence a F. Logo p\in F. Mas isto contradiz a hipótese do enunciado que diz p\notin F.
Portanto a suposição d(p,F)=0 é impossível, e devemos ter
d(p,F)>0.
Comentário didático: a ideia-chave é que se a distância infimum fosse zero, existiriam pontos de F arbitrariamente próximos de p; isso daria uma sequência em F convergindo para p, e como F é fechado o limite estaria em F, contradição.

Passo 4

Agora que já sabemos que
r := d(p,F) > 0,
vamos construir explicitamente os abertos G e H pedidos na parte (b).
Lembre do conceito de bola aberta centrada em um ponto x e raio \rho>0:
B(x,\rho)=\{y\in M \mid d(y,x) < \rho\}.
Uma bola aberta é um conjunto aberto no espaço métrico.
Definimos
G := B\big(p,\tfrac{r}{2}\big)
e
H := \bigcup_{y\in F} B\big(y,\tfrac{r}{2}\big).

Passo 5

Verificações simples:
  • G é aberto por ser uma bola aberta; claramente p\in G porque d(p,p)=0 < r/2.
  • Cada y\in F pertence a B(y,r/2), logo F \subset H. Além disso, H é aberto porque é união (possivelmente infinita) de bolas abertas — união de abertos é aberta.
Até aqui temos p\in G, F\subset H e ambos são abertos. Faltam mostrar que G e H são disjuntos.

Passo 6

Provar que G\cap H=\varnothing.
Suponha, por contradição, que exista x\in G\cap H. Então x\in G implica
d(p,x) < \tfrac{r}{2}.
Como x\in H, existe algum y\in F tal que x\in B(y,r/2), isto é,
d(x,y) < \tfrac{r}{2}.
Usando a desigualdade triangular temos
d(p,y) \le d(p,x) + d(x,y) < \tfrac{r}{2} + \tfrac{r}{2} = r.
Mas isso contradiz a definição de r como r = \inf\{d(p,q):q\in F\}; não pode existir y\in F com d(p,y) < r. Portanto não existe tal x, e assim
G\cap H = \varnothing.
Comentário didático: a escolha de raio r/2 é importante — garante que qualquer ponto de G esteja a menos de r/2 de p e qualquer ponto de qualquer bola em H esteja a menos de r/2 de algum ponto de F; somando as duas distâncias violamos o fato de que todos os pontos de F ficam a distância pelo menos r de p.

Passo 7

Concluímos, portanto, que existem abertos disjuntos G e H com p\in G e F\subset H. Uma construção explícita é
G = B\big(p,\tfrac{r}{2}\big),\qquad H = \bigcup_{y\in F} B\big(y,\tfrac{r}{2}\big),
onde r=d(p,F)>0.

Resposta

(a) d(p,F)>0.
(b) Existem abertos disjuntos G e H tais que p\in G e F\subset H; por exemplo, com r=d(p,F)>0,
G=B\big(p,\tfrac{r}{2}\big),\qquad H=\bigcup_{y\in F}B\big(y,\tfrac{r}{2}\big).

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