Seja
um subconjunto fechado de um espaço métrico
. Se
, mostre que:
(a)
.
(b) Existem abertos disjuntos
e
de maneira que
e
.
(a)
(b) Existem abertos disjuntos
Passo 1
O enunciado dá um subconjunto fechado
de um espaço métrico
e um ponto
tal que
. Pede duas coisas:
(a) Mostrar que
, onde
é a distância de
ao conjunto
.
(b) Construir abertos disjuntos
e
tais que
e
.
Informações relevantes fornecidas:
é fechado;
não pertence a
. Nada mais é pedido aqui — a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro, vamos combinar o que significa a distância de um ponto a um conjunto e o que é um conjunto fechado.
Definição da distância de um ponto
ao conjunto
:
Isto significa que
é o menor valor limite possível das distâncias
quando
varia em
. A
(infimum) é o maior lower bound: para todo
existe algum
tal que
Definição de conjunto fechado (útil para depois): um conjunto
é fechado se, sempre que uma sequência
com
converge para algum
, então
pertence a
. Em palavras:
contém todos os seus pontos-limite.
Também vamos usar a desigualdade triangular do métrico: para quaisquer
,
Passo 3
Prova da parte (a). Objetivo: provar que
.
Estratégia natural: provar por contradição. Suponha
Pela propriedade do infimum, isto significa que para cada
existe
tal que
Ou seja, construímos uma sequência
em
que satisfaz
, isto é,
.
Como
é fechado, a propriedade de fechado implica que o limite da sequência
pertence a
. Logo
. Mas isto contradiz a hipótese do enunciado que diz
.
Portanto a suposição
é impossível, e devemos ter
Comentário didático: a ideia-chave é que se a distância infimum fosse zero, existiriam pontos de
arbitrariamente próximos de
; isso daria uma sequência em
convergindo para
, e como
é fechado o limite estaria em
, contradição.
Passo 4
Agora que já sabemos que
vamos construir explicitamente os abertos
e
pedidos na parte (b).
Lembre do conceito de bola aberta centrada em um ponto
e raio
:
Uma bola aberta é um conjunto aberto no espaço métrico.
Definimos
e
Passo 5
Verificações simples:
-
é aberto por ser uma bola aberta; claramente porque . -
Cada
pertence a , logo . Além disso, é aberto porque é união (possivelmente infinita) de bolas abertas — união de abertos é aberta.
Até aqui temos
,
e ambos são abertos. Faltam mostrar que
e
são disjuntos.
Passo 6
Provar que
.
Suponha, por contradição, que exista
. Então
implica
Como
, existe algum
tal que
, isto é,
Usando a desigualdade triangular temos
Mas isso contradiz a definição de
como
; não pode existir
com
. Portanto não existe tal
, e assim
Comentário didático: a escolha de raio
é importante — garante que qualquer ponto de
esteja a menos de
de
e qualquer ponto de qualquer bola em
esteja a menos de
de algum ponto de
; somando as duas distâncias violamos o fato de que todos os pontos de
ficam a distância pelo menos
de
.
Passo 7
Concluímos, portanto, que existem abertos disjuntos
e
com
e
. Uma construção explícita é
onde
.
Resposta
(a)
.
(b) Existem abertos disjuntos
e
tais que
e
; por exemplo, com
,