Se um conjunto e seu complementar têm ambos interior vazio, então a fronteira de cada um deles é o espaço inteiro.

Passo 1

O enunciado dá um espaço topológico X e um subconjunto A\subseteq X. Diz que tanto A quanto seu complementar A^{c}=X\setminus A têm interior vazio, isto é:
\operatorname{int}(A)=\varnothing\quad\text{e}\quad \operatorname{int}(A^{c})=\varnothing.
O que pede: provar que a fronteira de A é o espaço inteiro e que a fronteira de A^{c} também é o espaço inteiro, ou seja:
\partial A = X\quad\text{e}\quad \partial(A^{c})=X.

Passo 2

Primeiro vamos fixar claramente as definições (explicando devagar, como num mapa mental).
  • Um ponto x\in X é ponto interior de A se existe uma vizinhança aberta U de x com U\subseteq A. O conjunto de todos os pontos interiores de A é \operatorname{int}(A).
  • A aderência (fecho) de A, denotada \overline{A}, é o conjunto de pontos x tais que toda vizinhança aberta U de x intersecta A (ou seja, não existe uma vizinhança de x totalmente disjunta de A).
  • A fronteira de A, denotada \partial A, é o conjunto de pontos x tais que toda vizinhança aberta U de x intersecta tanto A quanto A^{c}. Uma fórmula útil (e padrão) é
\partial A = \overline{A}\setminus \operatorname{int}(A).
Vou mostrar por que essa fórmula vale em passo separado.
Exemplo para intuir: em X=\mathbb{R} com a topologia usual, se A=\mathbb{Q} (os racionais) então \operatorname{int}(A)=\varnothing e \operatorname{int}(A^{c})=\varnothing também. Para A=\mathbb{Q} a fronteira é todo \mathbb{R}. Isso dá a intuição do que queremos provar: quando ambos não têm abertos inteiros dentro, ambos são “densos” e a fronteira é tudo.

Passo 3

Provar uma relação padrão entre fecho e interior do complementar, que vai ser útil:
X\setminus \overline{A}=\operatorname{int}(A^{c}).
Prova detalhada: tome x\in X.
  • Se x\in X\setminus \overline{A}, então x\notin\overline{A}. Pela definição de fecho, isso significa que existe uma vizinhança aberta U de x tal que U\cap A=\varnothing. Então U\subseteq A^{c}, o que mostra que x é ponto interior de A^{c}. Portanto x\in\operatorname{int}(A^{c}).
  • Reciprocamente, se x\in\operatorname{int}(A^{c}), existe uma vizinhança aberta U de x com U\subseteq A^{c}. Logo U\cap A=\varnothing, o que impede que x\in\overline{A}. Assim x\in X\setminus\overline{A}.
Como ambas inclusões valem, temos a igualdade. Esta é uma identidade muito usada: o complementar do fecho é o interior do complementar.

Passo 4

Usar a igualdade do passo anterior para ligar a hipótese à aderência. Da identidade
X\setminus \overline{A}=\operatorname{int}(A^{c})
seguimos que, se \operatorname{int}(A^{c})=\varnothing, então X\setminus \overline{A}=\varnothing. Isso significa que \overline{A}=X. Em palavras: se o complementar não tem interior, então A é denso (seu fecho é todo o espaço).
Pelo mesmo raciocínio trocando A por A^{c}, da identidade
X\setminus \overline{A^{c}}=\operatorname{int}(A)
o fato \operatorname{int}(A)=\varnothing implica X\setminus \overline{A^{c}}=\varnothing, então \overline{A^{c}}=X. Assim ambos A e A^{c} têm fecho igual a X; isto é, ambos são conjuntos densos em X.

Passo 5

Agora explicar bem a fórmula da fronteira e usá-la: por definição de fronteira, x\in\partial A se toda vizinhança de x toca A e toca A^{c}. Outra forma padrão (e fácil de verificar) é
\partial A = \overline{A}\setminus \operatorname{int}(A).
Por que isso funciona?
  • Se x\in\overline{A}\setminus \operatorname{int}(A), então toda vizinhança de x encontra A (porque x\in\overline{A}) e não existe vizinhança contida em A (porque x\notin\operatorname{int}(A)), logo toda vizinhança também encontra A^{c}. Assim x\in\partial A.
  • Se x\in\partial A, por definição toda vizinhança encontra A, então x\in\overline{A}; e também toda vizinhança encontra A^{c}, logo não existe vizinhança contida em A, ou seja x\notin\operatorname{int}(A). Portanto x\in\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A).
Então a igualdade é válida.

Passo 6

Aplicar a fórmula com as consequências do passo 4. Temos já \overline{A}=X e \operatorname{int}(A)=\varnothing. Então
\partial A = \overline{A}\setminus \operatorname{int}(A)= X\setminus \varnothing = X.
Analogamente, trocando A por A^{c}: \overline{A^{c}}=X e \operatorname{int}(A^{c})=\varnothing, então
\partial(A^{c})=\overline{A^{c}}\setminus \operatorname{int}(A^{c})=X\setminus\varnothing=X.

Passo 7

Comentário final e intuição: a condição “ \operatorname{int}(A)=\varnothing e \operatorname{int}(A^{c})=\varnothing” é equivalente a dizer que tanto A quanto A^{c} são densos em X (ou seja, \overline{A}=X e \overline{A^{c}}=X). Quando ambos são densos, nenhum ponto tem uma vizinhança totalmente dentro de A nem totalmente dentro de A^{c}; por isso todo ponto do espaço está na fronteira de A e também na fronteira de A^{c}.

Resposta

\partial A = X\n \partial(A^{c}) = X

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