Seja f: A \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, A aberto, uma função contínua e seja c um número real dado. Prove que o conjunto \{(x, y) \in A \mid f(x, y)<c\} é aberto.
Dizemos que a sequiência de pontos \left(\left(x_{n}, y_{n}\right)\right)_{n \geqslant 0} converge a (\bar{x}, \bar{y}) se, dado \epsilon>0, existe um natural n_{0} tal que
Suponha que f(x, y) seja contínua em (\bar{x}, \bar{y}), que \left(\left(x_{n}, y_{n}\right)\right)_{n \geqslant 0} convirja para (\bar{x}, \bar{y}) e que \left(x_{n}, y_{n}\right) \in D_{f} para todo n \geqslant 0. Prove que a sequiência dada por a_{n}=f\left(x_{n}, y_{n}\right) converge para f(\bar{x}, \bar{y}).
Passo 1
O enunciado 5 pede para mostrar que, se f\colon A\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua e c\in\mathbb{R}, então
U=\{(x,y)\in A\mid f(x,y)<c\}
é aberto em \mathbb{R}^2.
O enunciado 6 pede para provar a continuidade sequencial de f em (\bar x,\bar y): ou seja, dado \bigl(x_n,y_n\bigr)\to(\bar x,\bar y), mostrar que a_n=f(x_n,y_n)\to f(\bar x,\bar y).
Vamos usar a definição \varepsilon–\delta de continuidade em A e de convergência em \mathbb{R}^2.
Passo 2
(Prova da parte 5)
Seja (x_0,y_0)\in U. Então f(x_0,y_0)<c. Defina
\varepsilon = c - f(x_0,y_0) > 0.
Como f é contínua em (x_0,y_0), existe \delta>0 tal que, sempre que
\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta,
vale
\bigl|f(x,y)-f(x_0,y_0)\bigr|<\varepsilon.
Isso implica
f(x,y)<f(x_0,y_0)+\varepsilon = c,
logo todo ponto (x,y) com \|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta pertence a U. Portanto B\bigl((x_0,y_0),\delta\bigr)\subset U, mostrando que U é aberto.
Passo 3
(Enunciado e estratégia da parte 6)
Queremos provar que, se \bigl(x_n,y_n\bigr)\to(\bar x,\bar y) em \mathbb{R}^2 e f é contínua em (\bar x,\bar y), então a_n = f(x_n,y_n)\to f(\bar x,\bar y) em \mathbb{R}. Usaremos novamente a definição \varepsilon–\delta de continuidade e a definição de convergência de sequência em \mathbb{R}^2.
Passo 4
(Prova da parte 6)
Seja \varepsilon>0. Como f é contínua em (\bar x,\bar y), existe \delta>0 tal que
O conjunto \{(x,y)\in A\mid f(x,y)<c\} é aberto, pois para cada ponto nele existe um disco centrado nesse ponto contido no conjunto, por continuidade de f.
Se \bigl(x_n,y_n\bigr)\to(\bar x,\bar y) e f é contínua em (\bar x,\bar y), então a_n=f(x_n,y_n)\to f(\bar x,\bar y).