Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{\left(\sqrt{x^{3}}+2 x^{3}+4\right)^{1 / 2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\bigl(\sqrt{x^{3}}+2x^{3}+4\bigr)^{1/2}}{x}.
Para resolver vamos usar as regras do produto, da cadeia e a regra da potência.

Passo 2

Definimos
g(x)=\sqrt{x^{3}}+2x^{3}+4 =x^{3/2}+2x^{3}+4,
de modo que
f(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{1/2}\cdot x^{-1}.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(x) pelo poder:
g'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr) +\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr) +\frac{d}{dx}(4) =\frac{3}{2}x^{1/2}+6x^{2}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto em \;f(x)=u(x)\,v(x); com u(x)=g(x)^{1/2} e v(x)=x^{-1}.
Primeiro a derivada de u(x) pela cadeia:
u'(x) =\frac{1}{2}g(x)^{-1/2}\,g'(x).
Então
f'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\frac{1}{2}g(x)^{-1/2}\,g'(x)\cdot x^{-1} +g(x)^{1/2}\cdot(-1)x^{-2}.

Passo 5

Substituindo g(x) e g'(x) e simplificando, obtemos
f'(x) =\frac{1}{2}\,\frac{\tfrac{3}{2}x^{1/2}+6x^{2}}{x\sqrt{g(x)}} -\frac{\sqrt{g(x)}}{x^{2}} =\frac{-x^{3/2}+4x^{3}-16}{4x^{2}\,\sqrt{g(x)}}.
Relembrando g(x)=\sqrt{x^{3}}+2x^{3}+4, a forma final é

Resposta

f'(x) =\frac{-x^{3/2}+4x^{3}-16} {4\,x^{2}\,\sqrt{\sqrt{x^{3}}+2x^{3}+4}}.

Exercícios relacionados