Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
f(x, y)=x y e A=\mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de f(x,y)=x\,y em A=\mathbb{R}^2. Como A não é compacto, o Teorema de Weierstrass não garante existência de máximo ou mínimo. Para ver se eles existem, precisamos mostrar se f é ou não limitada acima e abaixo.

Passo 2

Para ver que não há máximo, basta notar que dado qualquer M\in\mathbb{R} podemos escolher, por exemplo, y=1 e x>M. Então
f(x,y)=x\cdot1 = x > M.
Logo f atinge valores arbitrariamente grandes, não admitindo máximo.

Passo 3

Para ver que não há mínimo, dado qualquer m\in\mathbb{R} podemos escolher y=-1 e x> -m. Então
f(x,y)=x\cdot(-1) = -x < m.
Isso mostra que f atinge valores arbitrariamente pequenos, não admitindo mínimo.

Resposta

Não existe valor máximo e não existe valor mínimo de f em A=\mathbb{R}^2.

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