Seja F(t)=\frac{a+2 b}{t-2}, onde a=i e b=2 j-k. Calcular:
a) \lim _{t \rightarrow 0} \mathrm{~F}(\mathrm{t});
b) \lim _{t \rightarrow 2}\left(t^{2}-4 t+4\right) F(t).

Passo 1

O enunciado define a função vetorial
F(t)=\frac{a+2b}{t-2},
onde os vetores são a=\mathbf{i} e b=2\mathbf{j}-\mathbf{k}. Vamos usar álgebra de vetores e propriedades de limite para calcular
a) \displaystyle \lim_{t\to0}F(t)
b) \displaystyle \lim_{t\to2}\bigl(t^{2}-4t+4\bigr)F(t).

Passo 2

Primeiro, computamos o vetor constante a+2b:
a+2b = \mathbf{i} + 2\,(2\mathbf{j}-\mathbf{k}) = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k}.

Passo 3

Para a) temos
\lim_{t\to0}F(t) = \lim_{t\to0}\frac{\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}}{t-2} = \frac{\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}}{0-2} = -\tfrac12\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Passo 4

Para b) note que
t^{2}-4t+4 = (t-2)^2,
então
\bigl(t^{2}-4t+4\bigr)\,F(t) = (t-2)^2\;\frac{\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}}{t-2} = (t-2)\,(\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k}).
Fazendo t\to2, o fator (t-2) vai a zero, logo o limite é o vetor nulo.

Resposta

a) -\tfrac12\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
b) \mathbf{0}

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