Sejam F(t)=t i+2 t^{2} j+3 t^{3} k e G(t)=3 t i-2 j+4 t^{2} k. Calcular:
\lim _{t \rightarrow 1}[F(t) \cdot G(t)];

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais
F(t) = t\,\mathbf{i} + 2\,t^{2}\,\mathbf{j} + 3\,t^{3}\,\mathbf{k},
G(t) = 3\,t\,\mathbf{i} - 2\,\mathbf{j} + 4\,t^{2}\,\mathbf{k},
e pede o limite
\lim_{t\to1}\bigl[F(t)\cdot G(t)\bigr].
Para resolver, primeiro vamos obter a expressão escalar F(t)\cdot G(t) usando a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3. Em seguida, calculamos o limite dessa expressão quando t tende a 1.

Passo 2

O produto escalar de duas funções vetoriais em \mathbb{R}^3 é dado por
F(t)\cdot G(t) = \bigl(t\bigr)\bigl(3t\bigr) + \bigl(2t^{2}\bigr)\bigl(-2\bigr) + \bigl(3t^{3}\bigr)\bigl(4t^{2}\bigr).
Agora simplificamos termo a termo:
t\cdot 3t = 3t^{2},\quad 2t^{2}\cdot(-2) = -4t^{2},\quad 3t^{3}\cdot 4t^{2} = 12t^{5}.
Portanto,
F(t)\cdot G(t) = 3t^{2} - 4t^{2} + 12t^{5} = -t^{2} + 12t^{5}.

Passo 3

A função -t^{2} + 12t^{5} é um polinômio em t, logo contínua em todo \mathbb{R}. Para calcular o limite quando t\to1, basta substituir t=1:
\lim_{t\to1}\bigl[-t^{2} + 12t^{5}\bigr] = -(1)^{2} + 12\,(1)^{5} = -1 + 12 = 11.

Resposta

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