Seja f(t) uma função contínua por partes em [0,+infty). Prove que f(t) não é de ordem exponencial se
lim t infty f(t)e^alpha t=infty
qualquer que seja a constante alpha in R.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma função que é contínua por partes no intervalo . O problema quer a gente provar que não é de ordem exponencial se o limite para qualquer constante real . Vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como esse limite nos ajuda nessa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ordem exponencial. Uma função é dita ser de ordem exponencial se existe uma constante e outra tal que para todo grande o suficiente, . Basicamente, isso significa que o crescimento de não é mais rápido do que uma função exponencial .

Passo 3

Agora, o que o exercício nos dá é que, para qualquer , o limite de tende ao infinito quando vai para o infinito. Isso quer dizer que não importa qual a gente escolha, sempre dá para encontrar um grande o bastante onde é maior que para qualquer constante .

Passo 4

Vamos pensar no contrário: suponha que é de ordem exponencial. Então, existiria algum e tal que para todo grande. Mas isso implicaria que , ou seja, o limite de seria no máximo , e não infinito. Isso contraria o que foi dado no exercício.

Passo 5

Como chegamos a uma contradição assumindo que é de ordem exponencial, nossa suposição está errada. Portanto, conclui-se que não é de ordem exponencial se para qualquer constante .

Resposta

Assim, provamos que a função não é de ordem exponencial sob as condições dadas.

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