Seja g(x) = [f(x)]^3. Encontre g'(1), sabendo que f(1) = -1 e f'(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada de uma função composta no ponto . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as informações que a questão nos deu sobre e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Isso significa que a função é igual à função elevada ao cubo. Para encontrar a derivada de , que é , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função, como aqui onde está dentro do cubo.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, para derivar , devemos derivar a “função externa” em relação a e depois multiplicar pela derivada da “função interna” . Matemáticamente, isso fica:
Aqui, é a derivada da função externa em relação a , e é a derivada da função interna.

Passo 4

Agora, vamos substituir na derivada que encontramos. A questão nos dá os valores e . Vamos substituir esses valores na expressão da derivada:

Passo 5

Vamos resolver essa expressão passo a passo. Primeiro, calculamos :
Então, substituímos de volta:

Resposta

Exercícios relacionados