Seja f(x)=15 x+10. Calcule
f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=15x+10 e pede para calcular f'(x), ou seja, a derivada de f em função de x. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=15x+10.
  • A tarefa: encontrar f'(x).

Passo 2

Lembrete do conceito (aula rapidinha): a derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação instantânea — geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico. A definição por limite da derivada é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. Essa fórmula diz: calcular quanto a função muda quando x aumenta de h, dividir pela variação em x (isso dá uma “inclinação média”) e depois fazer h ficar cada vez menor até zero para obter a inclinação instantânea.

Passo 3

Vamos aplicar a definição à função dada. Primeiro escrevo o quociente de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\bigl(15(x+h)+10\bigr)-\bigl(15x+10\bigr)}{h}.
Agora simplifico passo a passo:
\begin{aligned} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\frac{15x+15h+10-15x-10}{h}\\[6pt] &=\frac{15h}{h}. \end{aligned}]

Passo 4

Agora tomo o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{15h}{h}=\lim_{h\to0}15=15.
Portanto a derivada existe e é constante igual a 15. Interpretação prática: o gráfico de f é uma reta de coeficiente angular 15, então a inclinação (derivada) é 15 em qualquer ponto. Um atalho útil na prova: para qualquer função linear \,ax+b, tem-se sempre \,(ax+b)'=a.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar: se g(x)=3x+2, então g'(x)=3. Mesmo raciocínio — a derivada de uma reta é seu coeficiente angular.

Resposta

f'(x)=15

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