Seja
. Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor da derivada de
no ponto
, ou seja, pede
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é uma reta (função afim) com coeficiente angular
e ordenada na origem . - Queremos o valor da derivada no ponto
.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é derivada: a derivada
é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero. Formalmente,
Isso mede a inclinação (a taxa de variação instantânea) da curva em
. Vou usar essa definição para calcular passo a passo e, logo em seguida, também mostrar a regra rápida para funções lineares.
Passo 3
Aplicando a definição ao ponto
. Primeiro calcule
e
:
Agora o quociente incremental:
Simplificando (para
):
Tomando o limite quando
:
Portanto, pela definição de derivada,
.
Passo 4
Agora a regra prática (útil na prova): para uma função linear da forma
, a derivada é constante e vale
para todo
. Aqui
, logo
para todo
, e em particular
. Essa regra vem exatamente do cálculo que fizemos acima (o termo constante
some no quociente incremental e o coeficiente de
permanece).
Passo 5
Interpretação geométrica rápida e dica de prova: como
é uma reta, sua inclinação é
. A derivada num ponto da reta é sempre essa inclinação. Na hora da prova, ao ver
, já escreva
e conclua rapidamente.