Seja f(x)=15 x+10. Calcule
f^{\prime}(2)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=15x+10 e pede o valor da derivada de f no ponto x=2, ou seja, pede f^{\prime}(2).
Informações relevantes:
  • A função é uma reta (função afim) com coeficiente angular 15 e ordenada na origem 10.
  • Queremos o valor da derivada no ponto x=2.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é derivada: a derivada f^{\prime}(a) é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero. Formalmente,
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Isso mede a inclinação (a taxa de variação instantânea) da curva em x=a. Vou usar essa definição para calcular passo a passo e, logo em seguida, também mostrar a regra rápida para funções lineares.

Passo 3

Aplicando a definição ao ponto a=2. Primeiro calcule f(2+h) e f(2):
f(2+h)=15(2+h)+10=15\cdot2+15h+10=30+15h+10=40+15h,
f(2)=15\cdot2+10=30+10=40.
Agora o quociente incremental:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(40+15h)-40}{h}=\frac{15h}{h}.
Simplificando (para h\neq0):
\frac{15h}{h}=15.
Tomando o limite quando h\to0:
f^{\prime}(2)=\lim_{h\to0}15=15.
Portanto, pela definição de derivada, f^{\prime}(2)=15.

Passo 4

Agora a regra prática (útil na prova): para uma função linear da forma f(x)=ax+b, a derivada é constante e vale
f^{\prime}(x)=a
para todo x. Aqui a=15, logo f^{\prime}(x)=15 para todo x, e em particular f^{\prime}(2)=15. Essa regra vem exatamente do cálculo que fizemos acima (o termo constante b some no quociente incremental e o coeficiente de x permanece).

Passo 5

Interpretação geométrica rápida e dica de prova: como f é uma reta, sua inclinação é 15. A derivada num ponto da reta é sempre essa inclinação. Na hora da prova, ao ver f(x)=ax+b, já escreva f^{\prime}(x)=a e conclua rapidamente.

Resposta

15

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