Seja f(x)=15 x+10. Calcule
f^{\prime}(0)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=15x+10 e pede para calcular f^{\prime}(0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=15x+10.
  • A pergunta específica é: encontrar o valor da derivada de f no ponto x=0, isto é f^{\prime}(0).

Passo 2

O que é f^{\prime}(a)? É a derivada de f no ponto a, que representa a taxa de variação instantânea de f em a. A definição pelo limite é:
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Aqui a é o ponto onde queremos a derivada e h é um pequeno incremento em x. A ideia é ver quanto f muda por unidade de x quando x muda pouco.

Passo 3

Vamos aplicar a definição com a=0. Primeiro calcule f(0) e f(0+h).
f(0)=15\cdot0+10=10
f(0+h)=15(0+h)+10=15h+10
Agora substituímos na definição:
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(15h+10)-10}{h}=\lim_{h\to0}\frac{15h}{h}
Simplificando a fração:
\frac{15h}{h}=15\quad\text{para }h\neq0
Portanto o limite vale
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}15=15

Passo 4

Interpretação e atalho útil para a prova: funções lineares da forma \,f(x)=ax+b\, têm derivada constante igual ao coeficiente angular a. Ou seja,
f^{\prime}(x)=a
No nosso caso a=15, logo f^{\prime}(x)=15 para todo x e, em particular, f^{\prime}(0)=15. Isso evita calcular o limite toda vez.

Resposta

15

Exercícios relacionados