Seja
f(x)=1x(x^2-1)
Calcular a integral definida
I=integral2^4 f(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I=integral2^41x(x^2-1),dx. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais de uma função racional e integração de suas partes.

Passo 2

Precisamos escrever
1x(x-1)(x+1)=Ax+Bx-1+Cx+1
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1) e escolhendo x=0,1,-1, encontramos
A=-1, B=tfrac12, C=tfrac12

Passo 3

Substituindo em f(x) e integrando termo a termo, obtemos
f(x)=-1x+121x-1+121x+1,
portanto um antiderivado é
F(x)=-ln|x|+12ln|x-1|+12ln|x+1|+C

Passo 4

Avalia-mos de 2 a 4:
I=F(4)-F(2)= l(-ln4+tfrac12ln15r)-l(-ln2+tfrac12ln3r) =-ln4+ln2+tfrac12ln153 =-ln2+tfrac12ln5 =tfrac12ln54

Resposta

I=tfrac12ln54

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