Calcular o centro de gravidade da superfície
sobre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o centro de gravidade da superfície definida por $ Z = x^2 + y $ sobre a região $ D = (0,1) \times (0,1) $. Isso está relacionado à matéria de Centro de Massa na geometria. Para resolver, vamos precisar usar integrais duplas para encontrar as coordenadas $ \bar{x} $, $ \bar{y} $ e $ \bar{z} $ do centro de gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o centro de gravidade de uma superfície. As coordenadas do centro de gravidade ($ \bar{x} $, $ \bar{y} $, $ \bar{z} $) são dadas pelas fórmulas:
Aqui, $ dS $ representa um elemento de área na superfície.
Passo 3
Como nossa superfície é $ Z = x^2 + y $, podemos expressar $ dS $ em termos de $ dx $ e $ dy $. A fórmula para $ dS $ quando $ z = f(x,y) $ é:
Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a área total da superfície $ \iint_{D} dS $:
Como a integral em $ y $ é de 0 a 1, ela simplesmente multiplica a integral em $ x $ por 1:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição $ u = 2 + 4x^2 $, então $ du = 8x , dx $. No entanto, essa integral pode não ter uma forma elemental simples, então podemos usar uma aproximação ou reconhecer que é uma função que vamos manter simbólica para simplificar os cálculos posteriores.
Passo 5
Vamos calcular $ \bar{x} $ e $ \bar{y} $. Devido à simetria da região $ D $ e da função $ z $, percebemos que:
Agora, vamos calcular $ \bar{z} $:
Assim como na área, a integral em $ y $ de $ y $ de 0 a 1 é $ \frac{1}{2} $, então:
Simplificando, obtemos:
Resposta
O centro de gravidade da superfície $ Z = x^2 + y $ sobre a região $ D = (0,1) \times (0,1) $ é aproximadamente $ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) $.