Calcular o centro de gravidade da superfície S: Z=x wed>= 2+y sobre D=(0,1) times(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o centro de gravidade da superfície definida por $ Z = x^2 + y $ sobre a região $ D = (0,1) \times (0,1) $. Isso está relacionado à matéria de Centro de Massa na geometria. Para resolver, vamos precisar usar integrais duplas para encontrar as coordenadas $ \bar{x} $, $ \bar{y} $ e $ \bar{z} $ do centro de gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o centro de gravidade de uma superfície. As coordenadas do centro de gravidade ($ \bar{x} $, $ \bar{y} $, $ \bar{z} $) são dadas pelas fórmulas:
barx
Aqui, $ dS $ representa um elemento de área na superfície.

Passo 3

Como nossa superfície é $ Z = x^2 + y $, podemos expressar $ dS $ em termos de $ dx $ e $ dy $. A fórmula para $ dS $ quando $ z = f(x,y) $ é:
Z = x^2 + y
Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $:
dS
Então,
dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a área total da superfície $ \iint_{D} dS $:
integral duplaD dS
Como a integral em $ y $ é de 0 a 1, ela simplesmente multiplica a integral em $ x $ por 1:
integral duplaD dS = integral0^1 integral0^1 raiz2 + 4x^2 , dx , dy
Para resolver essa integral, fazemos a substituição $ u = 2 + 4x^2 $, então $ du = 8x , dx $. No entanto, essa integral pode não ter uma forma elemental simples, então podemos usar uma aproximação ou reconhecer que é uma função que vamos manter simbólica para simplificar os cálculos posteriores.

Passo 5

Vamos calcular $ \bar{x} $ e $ \bar{y} $. Devido à simetria da região $ D $ e da função $ z $, percebemos que:
barx
Agora, vamos calcular $ \bar{z} $:
bary
Assim como na área, a integral em $ y $ de $ y $ de 0 a 1 é $ \frac{1}{2} $, então:
D
Simplificando, obtemos:
z

Resposta

O centro de gravidade da superfície $ Z = x^2 + y $ sobre a região $ D = (0,1) \times (0,1) $ é aproximadamente $ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) $.

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