Seja f(x)=2+15 x-11. Calcule se existir:
(a) \lim _{x \rightarrow 1 / 5^{+}} f(x).
(b) \lim _{x \rightarrow 1 / 5^{-}} f(x).
(c) \lim _{x \rightarrow 1 / 5} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2+15x-11 e pede três limites relacionados ao ponto x=\tfrac{1}{5}:
(a) \lim_{x\to 1/5^{+}} f(x) — limite quando x se aproxima de \tfrac{1}{5} pela direita;
(b) \lim_{x\to 1/5^{-}} f(x) — limite quando x se aproxima de \tfrac{1}{5} pela esquerda;
(c) \lim_{x\to 1/5} f(x) — limite bilateral em x=\tfrac{1}{5}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita da função é f(x)=2+15x-11.
  • O ponto onde se pede o limite é x=\tfrac{1}{5}.
  • Não há descontinuidade indicada na expressão; a função é dada por uma expressão algébrica para todo x.

Passo 2

Primeiro simplificar a função para trabalhar com uma forma mais clara. Somando os termos constantes:
f(x)=2+15x-11.
Como 2-11=-9, obtemos a forma simplificada
f(x)=15x-9.

Passo 3

Explicar o que significa calcular um limite aqui, de forma didática e direta. Um limite \lim_{x\to a} f(x) pergunta: qual valor os f(x) se aproximam quando x fica cada vez mais perto de a?
Para um limite lateral, como \lim_{x\to a^{+}} f(x), a aproximação é feita por valores de x maiores que a; para \lim_{x\to a^{-}} f(x), por valores de x menores que a.

Passo 4

Mostrar por que, para funções polinomiais (e, em particular, para funções lineares como f(x)=15x-9), o limite ao se aproximar de a é simplesmente o valor da função em a. Razão prática e simples:
  • Considere a diferença entre f(x) e f(a):
f(x)-f(a)=\bigl(15x-9\bigr)-\bigl(15a-9\bigr)=15(x-a).
Quando x\to a, a quantidade x-a tende a 0, portanto 15(x-a) tende a 0. Isso mostra que f(x) tende a f(a) quando x\to a.
Portanto a função é contínua em a e tanto os limites laterais quanto o limite bilateral são iguais a f(a).

Passo 5

Aplicar o que foi dito ao caso a=\tfrac{1}{5}. Calcular f\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr):
f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=15\cdot\frac{1}{5}-9.
Calcular passo a passo: 15\cdot\frac{1}{5}=3, então
f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=3-9=-6.

Passo 6

Conclusão para cada item, usando que os limites laterais e o limite bilateral coincidem com f\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)=-6:
  • \lim_{x\to 1/5^{+}} f(x)=-6.
  • \lim_{x\to 1/5^{-}} f(x)=-6.
  • \lim_{x\to 1/5} f(x)=-6.

Resposta

(a) -6
(b) -6
(c) -6

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