Seja
. Calcule se existir:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três limites relacionados ao ponto
:
(a) — limite quando
se aproxima de
pela direita;
(b) — limite quando
se aproxima de
pela esquerda;
(c) — limite bilateral em
.
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita da função é
. - O ponto onde se pede o limite é
. - Não há descontinuidade indicada na expressão; a função é dada por uma expressão algébrica para todo
.
Passo 2
Primeiro simplificar a função para trabalhar com uma forma mais clara. Somando os termos constantes:
Como
, obtemos a forma simplificada
Passo 3
Explicar o que significa calcular um limite aqui, de forma didática e direta. Um limite
pergunta: qual valor os
se aproximam quando
fica cada vez mais perto de
?
Para um limite lateral, como , a aproximação é feita por valores de
maiores que
; para
, por valores de
menores que
.
Para um limite lateral, como
Passo 4
Mostrar por que, para funções polinomiais (e, em particular, para funções lineares como
), o limite ao se aproximar de
é simplesmente o valor da função em
. Razão prática e simples:
- Considere a diferença entre
e :
Quando
, a quantidade
tende a
, portanto
tende a
. Isso mostra que
tende a
quando
.
Portanto a função é contínua em e tanto os limites laterais quanto o limite bilateral são iguais a
.
Portanto a função é contínua em
Passo 5
Aplicar o que foi dito ao caso
. Calcular
:
Calcular passo a passo:
, então
Passo 6
Conclusão para cada item, usando que os limites laterais e o limite bilateral coincidem com
:
-
. -
. -
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)