Seja
.
a) Determine os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de
e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de
.
a) Determine os intervalos onde
b) Determine os pontos críticos de
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
Temos a função f(x)=\frac{x2}{x2-1}. O domínio é x≠±1. Vamos precisar de derivada primeira para estudar monotonicidade, derivada segunda para concavidade, e depois juntar tudo para o esboço do gráfico.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente para achar f’(x). Seja u(x)=x^2 e v(x)=x^2-1, então u’(x)=2x e v’(x)=2x. Por isso:
Passo 3
Para estudar o sinal de f’(x)=\displaystyle-2x/(x2-1)2, note que (x2-1)2>0 sempre no domínio. Logo o sinal de f’ é oposto ao de x. Assim f’(x)>0 (função crescente) quando x<0, e f’(x)<0 (função decrescente) quando x>0. Dividindo pelo domínio: crescente em (-∞,-1) e (-1,0); decrescente em (0,1) e (1,∞).
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde f’(x)=0 ou indefinida. f’(x)=0 <=> x=0, e f’ indefinida em x=±1 (mas aí f não está no domínio). Para classificar x=0, observamos monotonicidade: f passa de crescente (x<0) para decrescente (x>0), logo em x=0 temos um máximo local. O valor é f(0)=0.
Passo 5
Agora derivamos f’ para obter f’’. Com f’(x)=-2x/(x2-1)2, usamos de novo a regra do quociente ou produto: o resultado simplificado é
Passo 6
O sinal de f’’ depende de (x2-1)3, já que 3x^2+1>0 sempre. Se x^2-1>0 (i.e. |x|>1), então f’’>0 (concavidade para cima). Se x^2-1<0 (i.e. |x|<1), então f’’<0 (concavidade para baixo). Não há zeros de f’’ no domínio, portanto nenhum ponto de inflexão.
Passo 7
Para esboçar o gráfico: há assíntotas verticais em x=±1 e horizontal em y=1 (pois para |x|→∞, f(x)→1^+). Em (-∞,-1) a curva é crescente e concava para cima, indo de y→1^+ até +∞ em x→-1^-. Em (-1,0) ela baixa de -∞ até 0, crescente e côncava para baixo, atingindo (0,0) máximo local. Em (0,1) continua decrescente e côncava para baixo de 0 até -∞ em x→1^-. Em (1,∞) decresce de +∞ para 1^+, com concavidade para cima.
Passo 8
Juntando tudo, temos todas as informações para desenhar a curva com os pontos-chave, máximos e assíntotas.
Resposta
a) f é crescente em (-∞,-1)∪(-1,0) e decrescente em (0,1)∪(1,∞).
b) Ponto crítico em x=0, com f(0)=0, é máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de inflexão.
c) Concavidade para cima em (-∞,-1)∪(1,∞); concavidade para baixo em (-1,1).
d) Gráfico: vertical em x=±1, horizontal em y=1, máximo em (0,0), comportamento e concavidades conforme descrito.
b) Ponto crítico em x=0, com f(0)=0, é máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de inflexão.
c) Concavidade para cima em (-∞,-1)∪(1,∞); concavidade para baixo em (-1,1).
d) Gráfico: vertical em x=±1, horizontal em y=1, máximo em (0,0), comportamento e concavidades conforme descrito.