Seja f(x)=arctg(x^2). Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x).

Passo 1

Neste exercício temos a função . O conteúdo principal é derivada de função composta envolvendo a derivada da função arcotangente e a regra da cadeia. Vamos precisar saber que a derivada de é f(x)=arctgl(x^2r) e aplicar a regra da cadeia para arctg(u).

Passo 2

Para calcular f'(x), primeiro definimos u(x)=x^2. Sabemos que a derivada de u é u'(x)=2x e que se , então
$$
g’(u)=\frac{1}{1+u^2}.$$

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)=11+l(x^2r)^2cdot 2x=2x1+x^4

Passo 4

Para calcular f''(x), usamos a expressão f'(x)=dfrac2x1+x^4 e aplicamos a regra do quociente. Seja
N(x)=2x, D(x)=1+x^4

Passo 5

Então
N'(x)=2, D'(x)=4x^3

Passo 6

A regra do quociente diz
f''(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)l(D(x)r)^2

Passo 7

Substituindo,
f''(x)=2(1+x^4)-2xcdot4x^3(1+x^4)^2=2+2x^4-8x^4(1+x^4)^2=2-6x^4(1+x^4)^2=2l(1-3x^4r)(1+x^4)^2

Resposta

f'(x)=2x1+x^4, f''(x)=2l(1-3x^4r)(1+x^4)^2

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