Sabemos que a fórmula da integração por partes é dada por
Determine a seguinte integral indgfinida:
u d v=u v-integral v d u
integral(x^2-2 x) e^x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida

Passo 2

integrall(x^2 - 2xr)e^x,dx
pelo método de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Escolhemos u = x^2 - 2x e dv = e^x,dx. Logo temos
du = (2x - 2),dx
v = e^x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes no integral principal:
integrall(x^2 - 2xr)e^x,dx = (x^2 - 2x)e^x - integral e^x(2x - 2),dx

Passo 5

Para resolver integral e^x(2x - 2),dx, reescrevemos como
2integral(x - 1)e^x,dx
e aplicamos integração por partes de novo escolhendo u1 = x - 1 e dv1 = e^x,dx. Assim
du1 = dx,
v1 = e^x,
resultando em
2integral(x - 1)e^x,dx = 2l((x - 1)e^x - integral e^x,dxr) = 2l((x - 1)e^x - e^xr) = 2e^x(x - 2)

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta e combinando termos dentro de e^x, obtemos:
(x^2 - 2x)e^x - 2e^x(x - 2) = e^xl(x^2 - 2x - 2x + 4r) = e^x(x - 2)^2

Resposta

e^x(x - 2)^2 + C

Exercícios relacionados