Seja f(x)=a x^{2}+b x+c. Sabendo que f(1)=4, f(2)=0 e f(3)=-2, determine o produto abc.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio quadrático f(x)=a x^{2}+b x+c e fornece três valores do polinômio em pontos distintos. As perguntas e os dados que temos são:
\text{Dados: } f(1)=4,\quad f(2)=0,\quad f(3)=-2.
\text{Pergunta: determinar o produto } abc.

Passo 2

Vamos escrever as três igualdades obtidas ao substituir x=1,2,3 em f(x)=a x^{2}+b x+c. Substituindo cada ponto:
f(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c \implies a+b+c=4,
f(2)=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c \implies 4a+2b+c=0,
f(3)=a\cdot3^{2}+b\cdot3+c \implies 9a+3b+c=-2.
Agora temos um sistema linear de três equações com três incógnitas a,b,c.

Passo 3

Explico rápido a técnica que vamos usar: eliminação por subtração. Se duas equações têm o mesmo termo c, subtraí-las elimina c e gera uma equação apenas em a e b. Isso simplifica para um sistema de duas equações em duas incógnitas, que é mais fácil de resolver. Aplicando isso, subtraímos a primeira equação da segunda e a segunda da terceira.
Subtraindo \,a+b+c=4 de \,4a+2b+c=0:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=0-4 \implies 3a+b=-4.
Subtraindo \,4a+2b+c=0 de \,9a+3b+c=-2:
(9a+3b+c)-(4a+2b+c)=-2-0 \implies 5a+b=-2.
Agora temos o sistema em a e b:
\begin{cases} 3a+b=-4,\\[4pt] 5a+b=-2. \end{cases}]

Passo 4

Para eliminar b subtraímos a primeira das duas equações que acabamos de obter:
(5a+b)-(3a+b) = -2 - (-4).
No lado esquerdo b cancela:
2a = 2.
Logo:
a=1.
Pequena explicação didática: ao subtrair equações com o mesmo coeficiente de b (aqui coeficiente 1), esse termo some, sobrando uma equação só em a, o que facilita encontrar a.

Passo 5

Com a=1 voltamos a uma das equações em a e b, por exemplo 3a+b=-4:
3\cdot 1 + b = -4 \implies 3 + b = -4 \implies b = -7.
Expliquei: substituímos o valor encontrado de a para obter b diretamente.

Passo 6

Agora usamos a primeira equação a+b+c=4 para achar c. Substituindo a=1 e b=-7:
1 + (-7) + c = 4 \implies -6 + c = 4 \implies c = 10.
Assim encontramos todos os coeficientes: a=1, b=-7, c=10.

Passo 7

Finalmente calculamos o produto abc. Multiplicando os valores:
abc = 1 \cdot (-7) \cdot 10 = -70.
Breve dica prática: para produtos com sinal, conte sinais negativos (aqui só um negativo em b), então o produto final é negativo.

Resposta

-70

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