Calcule
\iint_{S} f(x, y, z) d S
quando:
f(x, y, z)=y e S é a superfície dada por z=x+y^{2}, 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2.
\iint_{S} f(x, y, z) d S
quando:
f(x, y, z)=y e S é a superfície dada por z=x+y^{2}, 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície
quando
e
é a superfície dada por
com
e
.
Informações dadas e relevantes:
- A função sobre a superfície é
. - A superfície
é o gráfico da função . - O domínio projetado no plano
(chamado ) é o retângulo . - Precisamos transformar a integral de superfície em uma integral dupla sobre
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): quando uma superfície
é o gráfico de uma função
, a integral de uma função escalar
sobre
pode ser escrita como uma integral dupla sobre o domínio
no plano
usando a fórmula
O que significa cada termo:
-
é a derivada parcial de em relação a (mostra inclinação na direção ). -
é a derivada parcial de em relação a . -
é o fator que converte a área do elemento plano na área do elemento da superfície . -
é apenas a função avaliada na superfície (substituímos ).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
.
Calcule as derivadas parciais:
Calcule as derivadas parciais:
Agora o fator da raiz fica
Passo 4
Substituímos
e o fator na integral dupla sobre
. Como
e na superfície
isso continua sendo
, obtemos
O domínio
é o retângulo
. Como o integrando não depende de
, podemos integrar em
primeiro:
Como
, a integral reduz-se a
Passo 5
Resolver a integral
por substituição. Faça a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
.
Substituindo:
Substituindo:
Agora integramos
:
Passo 6
Calcule os valores de
:
Portanto
Simplificando a fração
, obtemos o resultado final