Calcule
\iint_{S} f(x, y, z) d S
quando:
f(x, y, z)=y e S é a superfície dada por z=x+y^{2}, 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície \iint_{S} f(x,y,z)\,dS quando f(x,y,z)=y e S é a superfície dada por z=x+y^{2} com 0\le x\le 1 e 0\le y\le 2.
Informações dadas e relevantes:
  • A função sobre a superfície é f(x,y,z)=y.
  • A superfície S é o gráfico da função g(x,y)=x+y^{2}.
  • O domínio projetado no plano xy (chamado D) é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2\}.
  • Precisamos transformar a integral de superfície em uma integral dupla sobre D.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): quando uma superfície S é o gráfico de uma função z=g(x,y), a integral de uma função escalar f sobre S pode ser escrita como uma integral dupla sobre o domínio D no plano xy usando a fórmula
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS=\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+\bigl(g_x(x,y)\bigr)^2+\bigl(g_y(x,y)\bigr)^2}\,dA.
O que significa cada termo:
  • g_x é a derivada parcial de g em relação a x (mostra inclinação na direção x).
  • g_y é a derivada parcial de g em relação a y.
  • \sqrt{1+g_x^2+g_y^2} é o fator que converte a área do elemento plano dA na área do elemento da superfície dS.
  • f(x,y,g(x,y)) é apenas a função f avaliada na superfície (substituímos z=g(x,y)).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: g(x,y)=x+y^{2}.
Calcule as derivadas parciais:
g_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x+y^{2})=1,
g_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x+y^{2})=2y.
Agora o fator da raiz fica
\sqrt{1+(g_x)^2+(g_y)^2}=\sqrt{1+1^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{1+1+4y^{2}}=\sqrt{2+4y^{2}}.

Passo 4

Substituímos f e o fator na integral dupla sobre D. Como f(x,y,z)=y e na superfície z=g(x,y) isso continua sendo y, obtemos
\iint_{S} f\,dS=\iint_{D} y\,\sqrt{2+4y^{2}}\,dA.
O domínio D é o retângulo 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2. Como o integrando não depende de x, podemos integrar em x primeiro:
\iint_{D} y\sqrt{2+4y^{2}}\,dA=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1} y\sqrt{2+4y^{2}}\,dx\,dy =\int_{y=0}^{2} \biggl(y\sqrt{2+4y^{2}}\cdot\int_{x=0}^{1}dx\biggr)dy.
Como \int_{0}^{1}dx=1, a integral reduz-se a
\int_{0}^{2} y\sqrt{2+4y^{2}}\,dy.

Passo 5

Resolver a integral \displaystyle \int_{0}^{2} y\sqrt{2+4y^{2}}\,dy por substituição. Faça a substituição
u=2+4y^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8y\,dy\quad\Rightarrow\quad y\,dy=\frac{du}{8}.
Quando y=0 temos u=2. Quando y=2 temos u=2+4\cdot 4=18.
Substituindo:
\int_{0}^{2} y\sqrt{2+4y^{2}}\,dy=\int_{u=2}^{18} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{2}^{18} u^{1/2}\,du.
Agora integramos u^{1/2}:
\frac{1}{8}\int_{2}^{18} u^{1/2}\,du=\frac{1}{8}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{2}^{18}=\frac{1}{12}\left[u^{3/2}\right]_{2}^{18}.

Passo 6

Calcule os valores de u^{3/2}:
18^{3/2}=(\sqrt{18})^{3}=(3\sqrt{2})^{3}=27\cdot 2\sqrt{2}=54\sqrt{2},
2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}.
Portanto
\frac{1}{12}\bigl(18^{3/2}-2^{3/2}\bigr)=\frac{1}{12}\bigl(54\sqrt{2}-2\sqrt{2}\bigr)=\frac{1}{12}\cdot 52\sqrt{2}=\frac{52}{12}\sqrt{2}.
Simplificando a fração \dfrac{52}{12}=\dfrac{13}{3}, obtemos o resultado final
\frac{13}{3}\sqrt{2}.

Resposta

\dfrac{13}{3}\sqrt{2}

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