Calcule a área da superfície
z=\sqrt{x{2}+y{2}}, x{2}+y{2} \leq 2 x, x \geq 0, y \geq 0
.

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} definida sobre a região do plano xy descrita por
x^{2}+y^{2}\leq 2x,\quad x\geq 0,\quad y\geq 0.
O que a questão pede é a área da parte dessa superfície que está sobre essa região do plano.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função de superfície é z=f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O domínio no plano é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem as três condições acima.

Passo 2

Interpreto geometricamente a desigualdade x^{2}+y^{2}\leq 2x. Vou reescrever essa curva em forma conhecida:
x^{2}+y^{2}=2x \iff x^{2}-2x+y^{2}=0 \iff (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Isso é a equação de um círculo de centro (1,0) e raio 1. Como o domínio impõe também y\geq 0 e x\geq 0, a região D é a parte do disco centrado em (1,0) com raio 1 que está no semiplano superior y\geq 0. Observação: todo esse semicírculo tem x variando entre 0 e 2, portanto a condição x\geq 0 já é satisfeita por toda a meia-bola superior. Logo, D é exatamente o semicírculo superior de raio 1 (meio-disco).

Passo 3

Lembro a fórmula da área de uma superfície dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano:
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\\ dA.Á
Explico rapidamente cada termo:
  • f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y.
  • A expressão \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} mede localmente o fator de alongamento da área do elemento de área no plano para a superfície (um pouco como o fator hipotenusa para uma pequena rampa).
  • dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Para facilitar, escrevo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (é o mesmo f). Então
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{r},
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{r}.
Agora calculo f_{x}^{2}+f_{y}^{2}:
f_{x}^{2}+f_{y}^{2}=\frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}=\frac{r^{2}}{r^{2}}=1,
exceto no ponto r=0 (origem), que é uma singularidade de medida zero e não altera a integral.

Passo 5

Substituindo na fórmula do passo 3, o integrando simplifica muito:
\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto a área da superfície é simplesmente
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{2}\\ dA=\sqrt{2}\iint_{D}dA=\sqrt{2}\cdot \text{(área de }D\text{)}.Áá
Ou seja, a área da superfície é \sqrt{2} vezes a área da região D no plano.

Passo 6

Calcúlo a área da região D. Como identifiquei no Passo 2, D é o semicírculo (meio-disco) de raio \,1. A área de um disco de raio r é \pi r^{2}. Logo a área do semicírculo é metade disso:
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\pi\cdot 1^{2}=\frac{\pi}{2}.Á

Passo 7

Multiplico pelo fator \sqrt{2} do Passo 5:
\text{Área da superfície}=\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}.Áí
Interpretação rápida: a superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é um cone reto (ângulo constante) e, sobre qualquer região do plano, seu fator de alongamento é constante \sqrt{2}, por isso a área da porção do cone é proporcional à área da projeção no plano.

Resposta

\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}

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