Calcule a área da superfície
z=\sqrt{x{2}+y{2}}, x{2}+y{2} \leq 2 x, x \geq 0, y \geq 0
.
z=\sqrt{x{2}+y{2}}, x{2}+y{2} \leq 2 x, x \geq 0, y \geq 0
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida sobre a região do plano
descrita por
O que a questão pede é a área da parte dessa superfície que está sobre essa região do plano.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A função de superfície é
. - O domínio no plano é o conjunto de pontos
que satisfazem as três condições acima.
Passo 2
Interpreto geometricamente a desigualdade
. Vou reescrever essa curva em forma conhecida:
Isso é a equação de um círculo de centro
e raio
. Como o domínio impõe também
e
, a região
é a parte do disco centrado em
com raio
que está no semiplano superior
. Observação: todo esse semicírculo tem
variando entre
e
, portanto a condição
já é satisfeita por toda a meia-bola superior. Logo,
é exatamente o semicírculo superior de raio
(meio-disco).
Passo 3
Lembro a fórmula da área de uma superfície dada por
sobre uma região
no plano:
Explico rapidamente cada termo:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e . - A expressão
mede localmente o fator de alongamento da área do elemento de área no plano para a superfície (um pouco como o fator hipotenusa para uma pequena rampa). -
é o elemento de área no plano .
Passo 4
Calculo as derivadas parciais de
. Para facilitar, escrevo
(é o mesmo
). Então
Agora calculo
:
exceto no ponto
(origem), que é uma singularidade de medida zero e não altera a integral.
Passo 5
Substituindo na fórmula do passo 3, o integrando simplifica muito:
Portanto a área da superfície é simplesmente
Ou seja, a área da superfície é
vezes a área da região
no plano.
Passo 6
Calcúlo a área da região
. Como identifiquei no Passo 2,
é o semicírculo (meio-disco) de raio
. A área de um disco de raio
é
. Logo a área do semicírculo é metade disso:
Passo 7
Multiplico pelo fator
do Passo 5:
Interpretação rápida: a superfície
é um cone reto (ângulo constante) e, sobre qualquer região do plano, seu fator de alongamento é constante
, por isso a área da porção do cone é proporcional à área da projeção no plano.