(2 pontos) Uma partícula desloca-se com velocidade
. Considerando que a partícula saiu da posição
, determine a posição
no instante
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Velocidade:
para (estou interpretando o enunciado assim). - Condição inicial:
. - Pedido: determinar a posição
no instante (ou seja, encontrar a função compatível com a velocidade e a condição inicial).
Passo 2
Entendendo a relação entre posição e velocidade (a parte teórica que você precisa levar pra prova):
- A posição
é uma função do tempo. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. - Em notação matemática, isso é escrito como
, onde é a derivada de em relação a . - Para recuperar
a partir de usamos a operação inversa da derivada: a integral indefinida. Ou seja,
onde
é uma constante que ajustamos usando a condição inicial. Dica rápida: na prova, sempre escreva essa igualdade e lembre-se de incluir
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: escrevemos a integral da velocidade
Vamos integrar termo a termo — isto é, separar a integral em duas integrais mais simples:
Passo 4
Integrando o primeiro termo
:
- Usamos a regra potência:
para . - Aqui
é , então . - Multiplicando por
: .
Passo 5
Integrando o segundo termo
:
- A integral de uma constante
é : . - Logo
.
Passo 6
Somando os resultados das integrais e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 7
Agora usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que
. Substituindo
na expressão:
Como
, temos
.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
obtemos a posição pedida. Verificação rápida: derivando
dá
, que é exatamente
, e
bate — tudo consistente.