(2 pontos) Uma partícula desloca-se com velocidade v(t)=2 t+6 t \geq 0. Considerando que a partícula saiu da posição x(0)=1, determine a posição x=x(t) no instante t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Velocidade: v(t)=2t+6 para \;t\ge 0 (estou interpretando o enunciado assim).
  • Condição inicial: x(0)=1.
  • Pedido: determinar a posição x=x(t) no instante t (ou seja, encontrar a função x(t) compatível com a velocidade e a condição inicial).

Passo 2

Entendendo a relação entre posição e velocidade (a parte teórica que você precisa levar pra prova):
  • A posição x(t) é uma função do tempo. A velocidade v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
  • Em notação matemática, isso é escrito como \displaystyle v(t)=x'(t), onde x'(t) é a derivada de x em relação a t.
  • Para recuperar x(t) a partir de v(t) usamos a operação inversa da derivada: a integral indefinida. Ou seja,
x(t)=\int v(t)\,dt + C,
onde C é uma constante que ajustamos usando a condição inicial. Dica rápida: na prova, sempre escreva essa igualdade e lembre-se de incluir +C.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: escrevemos a integral da velocidade
x(t)=\int (2t+6)\,dt + C.
Vamos integrar termo a termo — isto é, separar a integral em duas integrais mais simples:
x(t)=\int 2t\,dt + \int 6\,dt + C.

Passo 4

Integrando o primeiro termo \displaystyle \int 2t\,dt:
  • Usamos a regra potência: \displaystyle \int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Aqui t é t^1, então \displaystyle \int t\,dt=\frac{t^2}{2}.
  • Multiplicando por 2: \displaystyle \int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^2}{2}=t^2.

Passo 5

Integrando o segundo termo \displaystyle \int 6\,dt:
  • A integral de uma constante a é at: \displaystyle \int a\,dt = a t.
  • Logo \displaystyle \int 6\,dt = 6t.

Passo 6

Somando os resultados das integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos
x(t)=t^2+6t+C.

Passo 7

Agora usamos a condição inicial para encontrar C. Sabemos que x(0)=1. Substituindo t=0 na expressão:
x(0)=0^2+6\cdot 0 + C = C.
Como x(0)=1, temos C=1.

Passo 8

Substituindo C=1 na expressão de x(t) obtemos a posição pedida. Verificação rápida: derivando x(t) x'(t)=2t+6, que é exatamente v(t), e x(0)=1 bate — tudo consistente.

Resposta

x(t)=t^2+6t+1,\quad t\ge 0

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