Exercício 3. Para cada um dos subconjuntos S \subseteq V, onde ( V,+, \cdot ) é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, S.
\left\{ \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ -1 & 0\end{array}\right)\right\} e V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais, com as operações usuais) e o subconjunto
S=\left\{\;A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}\;\right\}.
A pergunta é: encontrar o subespaço gerado por S, ou seja [S] (o conjunto de todas as combinações lineares das matrizes de S).]

Passo 2

O que significa "subespaço gerado por S"? Vou explicar devagar e com carinho. [S] é, por definição, o conjunto de todas as combinações lineares finitas das matrizes em S. Como S tem só duas matrizes, isso significa
[S]=\{\alpha A+\beta B \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
Aqui \alpha e \beta são escalares (números reais). Uma combinação linear é só somar as matrizes multiplicadas pelos escalares. Na prova, sempre que vir “subespaço gerado”, escreva essa forma: conjunto das combinações lineares.

Passo 3

Vamos calcular uma combinação linear genérica \alpha A+\beta B. Substituindo as matrizes:
\alpha A+\beta B = \alpha\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando escalarmente e somando entrada a entrada (regra: multiplicar cada entrada pelo escalar e depois somar as matrizes):
\alpha A = \begin{pmatrix}0 & \alpha\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad \beta B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]-\beta & 0\end{pmatrix},
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\alpha A+\beta B = \begin{pmatrix}0 & \alpha\\[4pt]-\beta & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

A expressão anterior mostra que qualquer combinação linear tem a forma
\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]y & 0\end{pmatrix}
onde x=\alpha e y=-\beta são números reais arbitrários (pois \alpha,\beta variam por todo \mathbb{R}, então x,y podem ser quaisquer reais). Portanto o conjunto de todas as combinações lineares é exatamente o conjunto de todas as matrizes 2\times2 com entradas diagonais nulas e entradas off-diagonais arbitrárias.]

Passo 5

Escrevendo isso de forma limpa:
[S]=\left\{\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]y & 0\end{pmatrix}\;\middle|\; x,y\in\mathbb{R}\right\}.
Uma outra forma equivalente, útil em prova, é dizer que [S]=\operatorname{span}\{A,B\}=\operatorname{span}\{E_{12},E_{21}\}, onde E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} e E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}. Note que B=-E_{21}, então B e E_{21} geram o mesmo subespaço.]

Passo 6

Mostro rapidamente que A e B são linearmente independentes (isso confirma que a dimensão do subespaço é 2 e que S é uma base desse subespaço). Se c_1A+c_2B=0 (matriz zero), então
c_1A+c_2B=\begin{pmatrix}0 & c_1\\[4pt]-c_2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Comparando entradas obtemos c_1=0 e -c_2=0\Rightarrow c_2=0. Logo só a combinação trivial dá a matriz zero, então são independentes.]

Passo 7

Exemplos para fixar: se escolher \alpha=2,\beta=-3 então
2A+(-3)B=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-(-3) & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix},
que está no subespaço. Se quiser a matriz \begin{pmatrix}0 & 5\\[4pt]7 & 0\end{pmatrix}, basta tomar \alpha=5 e \beta=-7.]

Resposta

[S]=\left\{\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]y & 0\end{pmatrix}\;\middle|\; x,y\in\mathbb{R}\right\}]

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