Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & , x \in[-L,-a] \\\ A & , x \in[-a,+a] \\\\ 0 & , x \in(+a,+L]\end{array}\right. onde 0<a<L. Desenvolver f(x) em séries de Fourier.
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica (definida no intervalo fundamental) por partes:
com 0<a<L. O que se pede: desenvolver f(x) em séries de Fourier no intervalo [-L,L] (ou seja, obter a série trigonométrica de período 2L que representa f por extensão periódica).
Informações relevantes fornecidas:
amplitude na janela central é A;
a janela onde f=A é [-a,a];
f=0 fora dessa janela, até os extremos \pm L;
parâmetros: 0<a<L.]
Passo 2
Lembrete: a série de Fourier de uma função com período 2L (definida em [-L,L]) tem a forma
Explicação rápida (útil para a prova): essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \{1,\cos(\tfrac{n\pi x}{L}),\sin(\tfrac{n\pi x}{L})\} em [-L,L]. Para calcular os coeficientes, basta fazer as integrais definidas acima.
Passo 3
Observação prática sobre a simetria: a função f é par, ou seja f(-x)=f(x), porque a janela [-a,a] é simétrica e o valor é o mesmo à esquerda e à direita. Consequências úteis:
Os termos ímpares (seno) desaparecem, então todos os b_n são zero.
Os coeficientes a_n podem ser calculados usando a simetria como a_n=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{a} f(x)\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx, já que fora de [0,a] a função vale zero no quadrante positivo.
Passo 4
Cálculo de a_0 (muito usado na prova para obter o termo constante):
Explicação sobre convergência (útil na prova): para x dentro da janela (-a,a) a série converge para A; para x fora da janela converge para 0; nos pontos de descontinuidade x=\pm a convergirá para a média dos limites à direita e à esquerda, ou seja \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}. Isso é uma consequência do teorema de Dirichlet para séries de Fourier.