Seja f(x)=x^{2}, x \in[0, T]. Desenvolver f(x) em série de senos…

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{2} definida em [0,T] e pede que ela seja desenvolvida em série de senos no intervalo [0,T].
Informações e objetivo explícito:
  • Função: f(x)=x^{2} para x\in[0,T].
  • Intervalo: [0,T].
  • O que é pedido: escrever f(x) como soma infinita de termos da forma \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{T}x\bigr), isto é encontrar coeficientes b_{n} tais que
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{T}x\Bigr),
valendo para x\in(0,T) (e com o entendimento usual nos extremos).
  • Não há outros dados numéricos: o resultado deve ficar em função de T e de n.

Passo 2

O que significa “série de senos” e qual fórmula usar para os coeficientes (explicação passo a passo e didática).
  • A coleção de funções \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{T}x\bigr), n=1,2,\dots, é ortogonal em [0,T] com respeito ao produto interno \int_{0}^{T} \!\cdot\cdot\cdot\,dx. A ortogonalidade é a razão pela qual podemos expandir uma função em combinação linear dessas funções.
  • Para obter os coeficientes de uma série de senos (coeficientes b_{n}), usa-se a projeção de f sobre cada seno: multiplicar por \sin\!\bigl(\tfrac{m\pi}{T}x\bigr) e integrar de 0 a T. Isso leva à fórmula padrão
b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{T}x\Bigr)\,dx,
para n=1,2,\dots.
  • Interpretação das variáveis na fórmula:
    • b_{n} é o coeficiente do n-ésimo seno na série.
    • T é o comprimento do intervalo [0,T].
    • A constante \tfrac{n\pi}{T} é a frequência angular do n-ésimo termo.
  • Portanto, para f(x)=x^{2} basta calcular os integras
b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x^{2}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{T}x\Bigr)\,dx.
Agora vamos calcular esse integral explicitamente, passo a passo.

Passo 3

Cálculo do integral \displaystyle I_n=\int_{0}^{T} x^{2}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{T}x\Bigr)\,dx.
  • Para simplificar a escrita, defina a constante
k=\frac{n\pi}{T}.
Então
I_n=\int_{0}^{T} x^{2}\sin(kx)\,dx.
  • Fazemos integração por partes para reduzir a potência de x. Primeira integração por partes:
    • Escolha u=x^{2} e dv=\sin(kx)\,dx.
    • Então du=2x\,dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
    • Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
I_n=\Bigl[-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{T} + \frac{2}{k}\int_{0}^{T} x\cos(kx)\,dx.
  • Avaliando o termo de fronteira: em x=0 o termo é zero porque x^{2}=0. Assim
I_n=-\frac{T^{2}\cos(kT)}{k} + \frac{2}{k}\int_{0}^{T} x\cos(kx)\,dx.

Passo 4

Segunda integral \displaystyle \int_{0}^{T} x\cos(kx)\,dx (outra integração por partes).
  • Faça u=x e dv=\cos(kx)\,dx.
  • Então du=dx e v=\dfrac{\sin(kx)}{k}.
  • Aplicando integração por partes,
\int_{0}^{T} x\cos(kx)\,dx=\Bigl[\frac{x\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{T} - \frac{1}{k}\int_{0}^{T}\sin(kx)\,dx.
  • Avaliando a expressão:
    • \displaystyle \Bigl[\frac{x\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{T}=\frac{T\sin(kT)}{k}.
    • E \displaystyle \int_{0}^{T}\sin(kx)\,dx=\Bigl[-\frac{\cos(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{T}=\frac{1-\cos(kT)}{k}.
  • Então
\int_{0}^{T} x\cos(kx)\,dx=\frac{T\sin(kT)}{k} - \frac{1-\cos(kT)}{k^{2}}.
  • Substituindo de volta em I_n:
I_n=-\frac{T^{2}\cos(kT)}{k} + \frac{2}{k}\Bigl(\frac{T\sin(kT)}{k} - \frac{1-\cos(kT)}{k^{2}}\Bigr).
  • Simplificando:
I_n=-\frac{T^{2}\cos(kT)}{k} + \frac{2T\sin(kT)}{k^{2}} - \frac{2(1-\cos(kT))}{k^{3}}.

Passo 5

Usar k=\dfrac{n\pi}{T} e simplificar usando kT=n\pi.
  • Observe que kT=n\pi, então \sin(kT)=\sin(n\pi)=0 e \cos(kT)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • Substituindo na expressão para I_n, o termo com \sin(kT) desaparece e ficamos com
I_n=-\frac{T^{2}(-1)^{n}}{k} - \frac{2(1-(-1)^{n})}{k^{3}}.
(Atenção ao sinal: foi substituído diretamente.)
  • Reescrevendo em termos de n e T, usando k=\dfrac{n\pi}{T}:
    • \dfrac{1}{k}=\dfrac{T}{n\pi}.
    • \dfrac{1}{k^{3}}=\dfrac{T^{3}}{n^{3}\pi^{3}}.
  • Portanto
I_n = -T^{2}(-1)^{n}\frac{T}{n\pi} - 2(1-(-1)^{n})\frac{T^{3}}{n^{3}\pi^{3}} = -\frac{T^{3}(-1)^{n}}{n\pi} - \frac{2T^{3}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.

Passo 6

Calcular b_{n} a partir de I_n e simplificar a fórmula final.
  • Lembrando que
b_{n}=\frac{2}{T}I_n,
substituindo I_n
b_{n}=\frac{2}{T}\Bigl(-\frac{T^{3}(-1)^{n}}{n\pi} - \frac{2T^{3}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}\Bigr).
  • Simplificando os fatores de T:
b_{n}=-\frac{2T^{2}(-1)^{n}}{n\pi} - \frac{4T^{2}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.
  • Essa é uma forma correta e compacta. Podemos também escrever usando \cos(n\pi)=(-1)^{n}:
b_{n}=-\frac{2T^{2}\cos(n\pi)}{n\pi} - \frac{4T^{2}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.
  • Se preferir separar os casos pares e ímpares, note:
    • Para n par ( (-1)^{n}=1) temos 1-(-1)^{n}=0, então
    b_{n}=-\frac{2T^{2}}{n\pi}\quad\text{(para \(n\) par).}
    • Para n ímpar ( (-1)^{n}=-1) temos 1-(-1)^{n}=2, então
    b_{n}=\frac{2T^{2}}{n\pi}-\frac{8T^{2}}{n^{3}\pi^{3}} \quad\text{(para \(n\) ímpar).}í
  • Ambas as formas estão equivalentes; a forma com (-1)^{n} é a mais compacta e geral.

Passo 7

Escrever a série de senos final e comentar rapidamente sobre convergência (prático para a prova).
  • A expansão solicitada é, para x\in(0,T),
\boxed{\,x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{T}x\Bigr)\,}
com
\boxed{\,b_{n}=-\frac{2T^{2}(-1)^{n}}{n\pi} - \frac{4T^{2}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}\,.}
  • Comentário prático: a série converge para x^{2} em (0,T). Nos extremos x=0 e x=T a série representa os valores correspondentes da extensão ímpar (pode haver convergência para médias de limites laterais), mas para a maioria das aplicações de prova a fórmula acima para b_{n} e a série são o que se pede.

Resposta

x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl(-\frac{2T^{2}(-1)^{n}}{n\pi} - \frac{4T^{2}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}\Biggr)\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{T}x\Bigr)

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