Seja
. Desenvolver
em série de senos…
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
e pede que ela seja desenvolvida em série de senos no intervalo
.
Informações e objetivo explícito:
- Função:
para . - Intervalo:
. - O que é pedido: escrever
como soma infinita de termos da forma , isto é encontrar coeficientes tais que
valendo para
(e com o entendimento usual nos extremos).
- Não há outros dados numéricos: o resultado deve ficar em função de
e de .
Passo 2
O que significa “série de senos” e qual fórmula usar para os coeficientes (explicação passo a passo e didática).
- A coleção de funções
, , é ortogonal em com respeito ao produto interno . A ortogonalidade é a razão pela qual podemos expandir uma função em combinação linear dessas funções. - Para obter os coeficientes de uma série de senos (coeficientes
), usa-se a projeção de sobre cada seno: multiplicar por e integrar de a . Isso leva à fórmula padrão
para
.
- Interpretação das variáveis na fórmula:
-
é o coeficiente do -ésimo seno na série. -
é o comprimento do intervalo . - A constante
é a frequência angular do -ésimo termo.
-
- Portanto, para
basta calcular os integras
Agora vamos calcular esse integral explicitamente, passo a passo.
Passo 3
Cálculo do integral
.
- Para simplificar a escrita, defina a constante
Então
- Fazemos integração por partes para reduzir a potência de
. Primeira integração por partes: - Escolha
e . - Então
e . - Aplicando a fórmula
, obtemos
- Escolha
- Avaliando o termo de fronteira: em
o termo é zero porque . Assim
Passo 4
Segunda integral
(outra integração por partes).
- Faça
e . - Então
e . - Aplicando integração por partes,
- Avaliando a expressão:
-
. - E
.
-
- Então
- Substituindo de volta em
:
- Simplificando:
Passo 5
Usar
e simplificar usando
.
- Observe que
, então e . - Substituindo na expressão para
, o termo com desaparece e ficamos com
(Atenção ao sinal: foi substituído diretamente.)
- Reescrevendo em termos de
e , usando : -
. -
.
-
- Portanto
Passo 6
Calcular
a partir de
e simplificar a fórmula final.
- Lembrando que
substituindo
dá
- Simplificando os fatores de
:
- Essa é uma forma correta e compacta. Podemos também escrever usando
:
- Se preferir separar os casos pares e ímpares, note:
- Para
par ( ) temos , então
- Para
ímpar ( ) temos , então
- Para
- Ambas as formas estão equivalentes; a forma com
é a mais compacta e geral.
Passo 7
Escrever a série de senos final e comentar rapidamente sobre convergência (prático para a prova).
- A expansão solicitada é, para
,
com
- Comentário prático: a série converge para
em . Nos extremos e a série representa os valores correspondentes da extensão ímpar (pode haver convergência para médias de limites laterais), mas para a maioria das aplicações de prova a fórmula acima para e a série são o que se pede.