Seja f(x)=\frac{x}{e^{x}}
(a) Calcule f^{\prime}(x)
(b) Calcule f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}
(c) Calcule f^{(3)}(x)=\left(f^{\prime \prime}(x)\right)^{\prime}
(d) Calcule f^{(4)}(x)
(e) Adivinha qual será a função f^{(n)}(x).

Passo 1

O enunciado define f(x)=\frac{x}{e^{x}}=x\,e^{-x}
e pede as derivadas de primeira até quarta ordem e depois a expressão geral de f^{(n)}(x).
Vamos usar regra do produto e derivada de exponencial.

Passo 2

Para f'(x), use u(x)=x, v(x)=e^{-x}.
Então u'=1, v'=-e^{-x} e
f'(x)=u'v+u\,v'=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}-x\,e^{-x}=(1-x)e^{-x}.

Passo 3

Para f''(x), derive f'(x)=(1-x)e^{-x} com u=1-x, v=e^{-x}.
Temos u'=-1, v'=-e^{-x} e
f''(x)=u'v+u\,v'=-1\cdot e^{-x}+(1-x)\cdot(-e^{-x}) =-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}.

Passo 4

Para f^{(3)}(x), parta de f''(x)=(x-2)e^{-x}. Com u=x-2, v=e^{-x}, u'=1, v'=-e^{-x},
f^{(3)}(x)=1\cdot e^{-x}+(x-2)\cdot(-e^{-x}) =e^{-x}-(x-2)e^{-x}=(3-x)e^{-x}.

Passo 5

Para f^{(4)}(x), derive (3-x)e^{-x} com u=3-x, v=e^{-x}, u'=-1, v'=-e^{-x},
f^{(4)}(x)=-1\cdot e^{-x}+(3-x)\cdot(-e^{-x}) =-e^{-x}-(3-x)e^{-x}=(x-4)e^{-x}.

Passo 6

Observando os polinômios que surgem: x,\;-x+1,\;x-2,\;-x+3,\;x-4,\dots
vemos que alterna o sinal de x e o termo constante é -n vezes esse sinal.
Logo a expressão geral é
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}(x-n)\,e^{-x}.

Resposta

(a) f'(x)=(1-x)e^{-x}
(b) f''(x)=(x-2)e^{-x}
(c) f^{(3)}(x)=(3-x)e^{-x}
(d) f^{(4)}(x)=(x-4)e^{-x}
(e) f^{(n)}(x)=(-1)^{n}(x-n)\,e^{-x}

Exercícios relacionados