Utilizando integral clupla, calcule a área da região R em cada caso:
\mathbb{R}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{3} \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\right\};

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^3 \le y \le \sqrt{x}\}.
O conteúdo aqui é aplicação de integral dupla para calcular área, usando a fórmula
\text{Área}(R) = \iint_{R} 1\,dA.Á

Passo 2

Antes de montar a integral dupla, precisamos achar a projeção de R no eixo x. Essa projeção é o conjunto de x tais que existam y satisfazendo
x^3 \le y \le \sqrt{x}.
Em particular, isso exige que a curva inferior y = x^3 e a curva superior y = \sqrt{x} se intersectem para delimitar o intervalo de x.

Passo 3

Para achar as interseções, resolvemos
x^3 = \sqrt{x}.
Observe que \sqrt{x} só faz sentido para x\ge0. Para x\ge0, temos
x^3 = x^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad x^{5/2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Além disso x=0 também satisfaz x^3=0 e \sqrt{0}=0. Logo a projeção em x é o intervalo [0,1].

Passo 4

Agora montamos a integral dupla em ordem dy\,dx. A área de R é
A = \iint_{R}1\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^3}^{y=\sqrt{x}}1\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos primeiro em y, tratando x como constante:
\int_{y=x^3}^{\sqrt{x}}1\,dy = \bigl[y\bigr]_{y=x^3}^{y=\sqrt{x}} = \sqrt{x}-x^3.
Assim
A = \int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^3\bigr)\,dx.

Passo 6

Separamos a integral em duas e usamos antiderivadas:
\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx = \int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx = \left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{2}{3},
\int_{0}^{1}x^3\,dx = \left[\tfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}.
Logo
A = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{8}{12} - \tfrac{3}{12} = \tfrac{5}{12}.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \tfrac{5}{12}.

Exercícios relacionados