Seja
(a) Determine o domínio de
.
(b) Encontre
.
(c) Esboce o gráfico de
.
(b) Encontre
(c) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Determine o domínio de
. - (b) Encontre
. - (c) Esboce o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de
(fração racional) e o ponto especial
que anula o denominador. Nada mais foi dado.
Passo 2
Entender domínio: o domínio de uma expressão racional é o conjunto de todos os
reais que tornam a expressão bem definida. A única coisa que pode dar problema aqui é o denominador
, pois divisão por zero não é permitida. Portanto devemos exigir
Resolvendo isso obtemos
. Logo o domínio de
é todos os reais exceto
. Em notação:
Explicação didática rápida: sempre que você tem uma fração, verifique se o denominador pode ser zero; se puder, esses pontos são excluídos do domínio.
Passo 3
Simplificar a expressão para entender o comportamento perto de
.
Vamos usar a fatoração da diferença de cubos. Fórmula geral (uma boa ferramenta para lembrar):
onde
e
são quaisquer números (ou variáveis). Aqui tomamos
e
. Aplicando a fórmula:
Substituindo na definição de
temos, para
,
Observação importante e didática: a simplificação cancelando
só é válida quando
, porque em
a expressão original não está definida (divisão por zero). O cancelamento mostra que para todo
a função coincide com o polinômio
.
Exemplo parecido e simples (para treinar):
para
. Isso dá uma ideia de como remover fatores comuns e ver limites.
Passo 4
Calcular o limite
.
Como vimos no passo anterior, para
vale
. Portanto, ao aproximar
de
(sem chegar exatamente em
), podemos usar a expressão simplificada. Para um polinômio, o limite ao aproximar
a um ponto é simplesmente o valor do polinômio naquele ponto (polinômios são contínuos em todo lugar). Assim:
Interpretação didática: a descontinuidade em
é do tipo “removível” (há um buraco) porque o limite existe e é finito, apesar da função original não estar definida ali.
Passo 5
Analisar e esboçar o gráfico.
Como para
temos
, o gráfico de
é o gráfico do polinômio
com uma exceção: no ponto
há uma falha (um buraco), porque a definição original exclui
.
Propriedades do polinômio que ajudam no esboço:
- Coeficiente de
é positivo ( ), então é uma parábola voltada para cima. - Vértice: a abscissa do vértice é
. A ordenada do vértice é
Logo o vértice é
.
- Interseção com o eixo
: em dá , então o ponto . - Não há raízes reais porque o discriminante é
; isto é, a parábola nunca cruza o eixo . - Algumas pontos úteis para desenhar:
(na forma simplificada) seria , então há um buraco no ponto . Outros pontos: , .
Como desenhar passo a passo na folha:
- Trace o eixo
e . - Marque o vértice
. - Marque
, (mas indique este último como um círculo vazio, pois é um buraco), , . - Desenhe uma parábola suave passando por esses pontos, simétrica em torno de
, voltada para cima. - No ponto
deixe um pequeno círculo vazio para indicar que a função não está definida ali (descontinuidade removível).
Comentário final didático: se você definisse uma nova função
igual a
para todo
e com
, então
seria contínua em todos os reais — a descontinuidade original era só um buraco que pode ser “removido”.
Resposta
(a)
(b)
(c) Gráfico: a parábola (vértice em
, intercepto em
em
, sem raízes reais), com um buraco (ponto excluído) em
.
(b)
(c) Gráfico: a parábola