Seja
f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}
(a) Determine o domínio de f.
(b) Encontre \lim _{x \rightarrow 1} f(x).
(c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}
e pede três coisas:
  1. (a) Determine o domínio de f.
  2. (b) Encontre \lim_{x\to 1} f(x).
  3. (c) Esboce o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de f (fração racional) e o ponto especial x=1 que anula o denominador. Nada mais foi dado.

Passo 2

Entender domínio: o domínio de uma expressão racional é o conjunto de todos os x reais que tornam a expressão bem definida. A única coisa que pode dar problema aqui é o denominador x-1, pois divisão por zero não é permitida. Portanto devemos exigir
x-1 \neq 0.
Resolvendo isso obtemos x\neq 1. Logo o domínio de f é todos os reais exceto 1. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Explicação didática rápida: sempre que você tem uma fração, verifique se o denominador pode ser zero; se puder, esses pontos são excluídos do domínio.

Passo 3

Simplificar a expressão para entender o comportamento perto de x=1.
Vamos usar a fatoração da diferença de cubos. Fórmula geral (uma boa ferramenta para lembrar):
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer números (ou variáveis). Aqui tomamos a=x e b=1. Aplicando a fórmula:
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Substituindo na definição de f temos, para x\neq 1,
f(x)=\frac{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}{x-1}=\;x^{2}+x+1.
Observação importante e didática: a simplificação cancelando (x-1) só é válida quando x\neq 1, porque em x=1 a expressão original não está definida (divisão por zero). O cancelamento mostra que para todo x\neq 1 a função coincide com o polinômio x^{2}+x+1.
Exemplo parecido e simples (para treinar): \displaystyle\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 para x\neq1. Isso dá uma ideia de como remover fatores comuns e ver limites.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{x\to 1} f(x).
Como vimos no passo anterior, para x\neq 1 vale f(x)=x^{2}+x+1. Portanto, ao aproximar x de 1 (sem chegar exatamente em 1), podemos usar a expressão simplificada. Para um polinômio, o limite ao aproximar x a um ponto é simplesmente o valor do polinômio naquele ponto (polinômios são contínuos em todo lugar). Assim:
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=1^{2}+1+1=3.
Interpretação didática: a descontinuidade em x=1 é do tipo “removível” (há um buraco) porque o limite existe e é finito, apesar da função original não estar definida ali.

Passo 5

Analisar e esboçar o gráfico.
Como para x\neq 1 temos f(x)=x^{2}+x+1, o gráfico de f é o gráfico do polinômio
y=x^{2}+x+1
com uma exceção: no ponto x=1 há uma falha (um buraco), porque a definição original exclui x=1.
Propriedades do polinômio que ajudam no esboço:
  • Coeficiente de x^{2} é positivo ( 1), então é uma parábola voltada para cima.
  • Vértice: a abscissa do vértice é -\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{1}{2}. A ordenada do vértice é
\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)+1=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{4}.
Logo o vértice é \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right).
  • Interseção com o eixo y: em x=0 y=1, então o ponto (0,1).
  • Não há raízes reais porque o discriminante é b^{2}-4ac=1-4=-3<0; isto é, a parábola nunca cruza o eixo x.
  • Algumas pontos úteis para desenhar: f(1) (na forma simplificada) seria 3, então há um buraco no ponto (1,3). Outros pontos: f(2)=7, f(-2)=3.
Como desenhar passo a passo na folha:
  1. Trace o eixo x e y.
  2. Marque o vértice \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right).
  3. Marque (0,1), (1,3) (mas indique este último como um círculo vazio, pois é um buraco), (2,7), (-2,3).
  4. Desenhe uma parábola suave passando por esses pontos, simétrica em torno de x=-\tfrac{1}{2}, voltada para cima.
  5. No ponto (1,3) deixe um pequeno círculo vazio para indicar que a função não está definida ali (descontinuidade removível).
Comentário final didático: se você definisse uma nova função \tilde{f} igual a x^{2}+x+1 para todo x e com \tilde{f}(1)=3, então \tilde{f} seria contínua em todos os reais — a descontinuidade original era só um buraco que pode ser “removido”.

Resposta

(a) \mathbb{R}\setminus\{1\}
(b) 3
(c) Gráfico: a parábola y=x^{2}+x+1 (vértice em \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right), intercepto em y em (0,1), sem raízes reais), com um buraco (ponto excluído) em (1,3).

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