Seja f(x)=\frac{2 x+1}{x-1}.
A função (f o f)(x) é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1} e pede para classificar a função composta (f\circ f)(x) como par, ímpar ou nem par nem ímpar, justificando.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x) é \dfrac{2x+1}{x-1}.
  • A composição é (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Para compor, é preciso lembrar que f não está definida em x=1 e que também precisamos excluir valores de x tais que f(x)=1 (porque f não aceita entrada 1). Vamos tratar isso ao calcular a composição.
    O que se pede: decidir se f\circ f é par (isto é, (f\circ f)(-x)=(f\circ f)(x) quando ambos os lados estão definidos), ou ímpar (isto é, (f\circ f)(-x)=-(f\circ f)(x) quando ambos os lados estão definidos), ou nenhum dos dois.

Passo 2

Lembrete didático sobre paridade (sem pular passos):
  • Uma função g é par se, para todo x tal que x e -x estão no domínio de g, vale
g(-x)=g(x).
  • Uma função g é ímpar se, para todo x tal que x e -x estão no domínio de g, vale
g(-x)=-g(x).
Para decidir, vou obter a expressão algébrica de f(f(x)) e depois comparar (f\circ f)(-x) com (f\circ f)(x) e com - (f\circ f)(x).

Passo 3

Calcular f(f(x)) passo a passo. Primeiro, chamo y=f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}. Então
f(f(x))=\frac{2y+1}{y-1}.
Substituindo y=\dfrac{2x+1}{x-1}:
Calcule o numerador:
2y+1=2\cdot\frac{2x+1}{x-1}+1=\frac{4x+2}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}=\frac{4x+2+x-1}{x-1}=\frac{5x+1}{x-1}.
Calcule o denominador:
y-1=\frac{2x+1}{x-1}-1=\frac{2x+1-(x-1)}{x-1}=\frac{2x+1-x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}.
Portanto
f(f(x))=\frac{\dfrac{5x+1}{x-1}}{\dfrac{x+2}{x-1}}=\frac{5x+1}{x+2},
onde cancelou o fator comum (x-1). Observação sobre domínio da composição: originalmente f não está definida em x=1; além disso, se f(x)=1 então f(f(x)) não está definida. Resolvendo f(x)=1:
\frac{2x+1}{x-1}=1 \quad\Rightarrow\quad 2x+1=x-1 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
Logo a composição tem domínio \mathbb{R}\setminus\{1,-2\}. A expressão simplificada \dfrac{5x+1}{x+2} também deixa claro que x\neq -2 (e lembramos de x\neq1 por causa da definição interna).

Passo 4

Agora verifico se (f\circ f) é par. Calculo (f\circ f)(-x):
(f\circ f)(-x)=\frac{5(-x)+1}{-x+2}=\frac{-5x+1}{2-x}.
Quero ver se isto é igual a (f\circ f)(x)=\dfrac{5x+1}{x+2} para todo x com x e -x no domínio. Faço a comparação algébrica multiplicando em cruz (válido quando denominadores não são zero, isto é, quando ambos os lados estão definidos):
Comparar
\frac{-5x+1}{2-x}\stackrel{?}{=}\frac{5x+1}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados pelos denominadores:
(-5x+1)(x+2) \stackrel{?}{=} (5x+1)(2-x).
Expando:
-5x^2-9x+2 \stackrel{?}{=} -5x^2+9x+2.
Isso dá -9x = 9x, ou 18x=0, então a igualdade só acontece em x=0. Portanto a igualdade não é verdadeira para todos os x (apenas em x=0), então (f\circ f) não é par.

Passo 5

Verifico se (f\circ f) é ímpar. Preciso checar se
(f\circ f)(-x) \stackrel{?}{=} - (f\circ f)(x),
ou seja,
\frac{-5x+1}{2-x} \stackrel{?}{=} -\frac{5x+1}{x+2}.
Multiplico em cruz:
(-5x+1)(x+2) \stackrel{?}{=} -(5x+1)(2-x).
Já calculamos (5x+1)(2-x) = -5x^2+9x+2, então o lado direito é -(-5x^2+9x+2)=5x^2-9x-2. Igualando ao lado esquerdo -5x^2-9x+2 obtemos
-5x^2-9x+2 = 5x^2-9x-2.
Isso leva a -10x^2+4=0, ou seja x^2=\dfrac{2}{5}. Assim a igualdade só ocorre nos pontos x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}, não para todo x no domínio. Portanto (f\circ f) não é ímpar.

Passo 6

Contraste numérico (intuição + contraexemplo): escolha x=\dfrac{1}{2} (tanto 1/2 quanto -1/2 estão no domínio). Então
(f\circ f)\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{5\cdot\tfrac{1}{2}+1}{\tfrac{1}{2}+2}=\frac{2{,}5+1}{2{,}5}=\frac{3{,}5}{2{,}5}=1{,}4,
(f\circ f)\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{-5\cdot\tfrac{1}{2}+1}{2-\tfrac{1}{2}}=\frac{-2{,}5+1}{1{,}5}=\frac{-1{,}5}{1{,}5}=-1.
Aqui claramente (f\circ f)(-\tfrac{1}{2})\neq (f\circ f)(\tfrac{1}{2}) e (f\circ f)(-\tfrac{1}{2})\neq -(f\circ f)(\tfrac{1}{2}). Isso confirma na prática que não é nem par nem ímpar.

Resposta

nem par nem ímpar

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