Seja
.
A função
é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justifique.
A função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar a função composta
como par, ímpar ou nem par nem ímpar, justificando.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
é . - A composição é
. - Para compor, é preciso lembrar que
não está definida em e que também precisamos excluir valores de tais que (porque não aceita entrada ). Vamos tratar isso ao calcular a composição.
O que se pede: decidir seé par (isto é, quando ambos os lados estão definidos), ou ímpar (isto é, quando ambos os lados estão definidos), ou nenhum dos dois.
Passo 2
Lembrete didático sobre paridade (sem pular passos):
- Uma função
é par se, para todo tal que e estão no domínio de , vale
- Uma função
é ímpar se, para todo tal que e estão no domínio de , vale
Para decidir, vou obter a expressão algébrica de
e depois comparar
com
e com
.
Passo 3
Calcular
passo a passo. Primeiro, chamo
. Então
Substituindo
:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Portanto
onde cancelou o fator comum
. Observação sobre domínio da composição: originalmente
não está definida em
; além disso, se
então
não está definida. Resolvendo
:
Logo a composição tem domínio
. A expressão simplificada
também deixa claro que
(e lembramos de
por causa da definição interna).
Passo 4
Agora verifico se
é par. Calculo
:
Quero ver se isto é igual a
para todo
com
e
no domínio. Faço a comparação algébrica multiplicando em cruz (válido quando denominadores não são zero, isto é, quando ambos os lados estão definidos):
Comparar
Multiplicando ambos os lados pelos denominadores:
Expando:
Isso dá
, ou
, então a igualdade só acontece em
. Portanto a igualdade não é verdadeira para todos os
(apenas em
), então
não é par.
Passo 5
Verifico se
é ímpar. Preciso checar se
ou seja,
Multiplico em cruz:
Já calculamos
, então o lado direito é
. Igualando ao lado esquerdo
obtemos
Isso leva a
, ou seja
. Assim a igualdade só ocorre nos pontos
, não para todo
no domínio. Portanto
não é ímpar.
Passo 6
Contraste numérico (intuição + contraexemplo): escolha
(tanto
quanto
estão no domínio). Então
Aqui claramente
e
. Isso confirma na prática que não é nem par nem ímpar.
Resposta
nem par nem ímpar