Se a regra da função f é "adicione 1 " e a regra da função g é "multiplique por 2 ", determine a regra para a função f o g e gof.

Passo 1

O enunciado dá duas funções com regras verbais e pede que se determine a regra das composições f\circ g e g\circ f. Informações do enunciado:
  • A regra de f é “adicione 1”.
  • A regra de g é “multiplique por 2”.
    O que é pedido:
  • Determinar a regra (expressão algébrica) de f\circ g.
  • Determinar a regra (expressão algébrica) de g\circ f.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa composição de funções (isso é essencial para não tropeçar na prova). Se temos duas funções f e g, então:
  • f\circ g significa primeiro aplicar g à entrada x e depois aplicar f ao resultado; em símbolos: (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • g\circ f significa primeiro aplicar f à entrada x e depois aplicar g ao resultado; em símbolos: (g\circ f)(x)=g(f(x)).
    Repare que a ordem importa: f\circ g geralmente não é igual a g\circ f.

Passo 3

Converter as descrições verbais para fórmulas (isto é prático e o jeito mais direto de calcular composições).
  • “Adicione 1” corresponde à função
f(x)=x+1.
Aqui x representa a entrada da função e f(x) é o número obtido somando 1 a x.
  • “Multiplique por 2” corresponde à função
g(x)=2x.
Aqui g(x) é o número obtido multiplicando x por 2.

Passo 4

Calcular f\circ g passo a passo usando a definição. Primeiro escrevo a definição e depois substituo:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Agora substituo g(x)=2x dentro de f. Como f(t)=t+1 para uma entrada genérica t, ao colocar t=g(x)=2x obtenho
f(g(x)) = (2x)+1.
Simplificando,
(f\circ g)(x)=2x+1.
Isso significa: primeiro multiplica por 2, depois soma 1.

Passo 5

Calcular g\circ f passo a passo. Começo pela definição:
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
Substituo f(x)=x+1 dentro de g. Como g(t)=2t, com t=f(x)=x+1 obtenho
g(f(x))=2\cdot(x+1).
Agora distribuo o 2:
g(f(x))=2x+2.
Portanto
(g\circ f)(x)=2x+2.
Isto significa: primeiro soma 1, depois multiplica por 2.

Passo 6

Comparação, interpretação e um exemplo numérico para fixar (útil na prova para checar respostas). As duas composições são:
(f\circ g)(x)=2x+1,\qquad (g\circ f)(x)=2x+2.
Note que não são iguais — ordem importa. Para ver com um número, escolha x=3:
  • (f\circ g)(3)=2\cdot3+1=7.
  • (g\circ f)(3)=2\cdot3+2=8.
    A diferença é 1 neste caso, confirmando que aplicar primeiro g e depois f dá resultado diferente de aplicar primeiro f e depois g.

Resposta

(f\circ g)(x)=2x+1
(g\circ f)(x)=2x+2

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